Ответы на курс: Математический анализ

Функция $f:M\rightarrow R^k,\quad M\subset R^m$ называется равномерно непрерывной на множестве , если

	$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x,y\in M:\quad r(x,y)<\varepsilon \Rightarrow r(f(x),f(y))<\delta$
	$\exists\varepsilon>0\quad \forall\delta>0:\quad \exists x,y\in M:\quad r(x,y)<\delta \Rightarrow r(f(x),f(y))\geq \varepsilon$
	$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x,y\in M:\quad r(x,y)<\delta \Rightarrow r(f(x),f(y))<\varepsilon$
	$\exists\varepsilon>0\quad \forall\delta>0:\quad \exists x,y\in M:\quad r(x,y)<\varepsilon \Rightarrow r(f(x),f(y))\geq \delta$

Точка является точкой локального максимума функции , если

	$\forall U_{\delta}(x_0):\quad \exists x\in U_{\delta}(x_0)\quad f(x)\leq f(x_0)$
	$\forall U_{\delta}(x_0):\quad \exists x\in U_{\delta}(x_0)\quad f(x)\geq f(x_0)$
	$\exists U_{\delta}(x_0):\quad \forall x\in U_{\delta}(x_0)\quad f(x)\leq f(x_0)$
	$\exists U_{\delta}(x_0):\quad \forall x\in U_{\delta}(x_0)\quad f(x)\geq f(x_0)$

Точка является точкой локального минимума функции , если

	$\exists U_{\delta}(x_0):\quad \forall x\in U_{\delta}(x_0)\quad f(x)\leq f(x_0)$
	$\exists U_{\delta}(x_0):\quad \forall x\in U_{\delta}(x_0)\quad f(x)\geq f(x_0)$
	$\forall U_{\delta}(x_0):\quad \exists x\in U_{\delta}(x_0)\quad f(x)\leq f(x_0)$
	$\forall U_{\delta}(x_0):\quad \exists x\in U_{\delta}(x_0)\quad f(x)\geq f(x_0)$

Точка для функции $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1},x\neq 1,f(1)=0$ является точкой разрыва

	устранимой
	второго рода
	с конечным скачком

Предел $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$ существует и равен



	$\frac{\ln{1+x}}{x}$
	$\ln{1+x}$

Производной функции в данной точке называется

	$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0)-f(x_0+h)}{h}$
	$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0)+f(x_0+h)}{h}$
	$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)+f(x_0)}{h}$
	$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Определите множества $A \cup B$ , $A \cap B$ если $A = {x : 0 \le x \le 4}$ , $B = {x : 1 \le x \le 5}$ , если

	$A \cup B = {x : 0 \le x \le 5}, A \cap B = {x : 1 \le x \le 5}$
	$A \cup B = {x : 0 \le x \le 5}$ , $A \cap B = {x : 0 \le x \le 4}$
	$A \cup B = {x : 0 \le x \le 5}, A \cap B = {x : 1 \le x \le 4}$

Если $x \notin A$ , то

	не является элементом множества
	- элемент множества
	является подмножеством множества

Сколько подмножеств имеется у множества, состоящего из элементов

	2n
	2ⁿ
	1
	n²

Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь в в виде , если и - натуральные числа, не имеющие общих делителей.

	1/18
	1/6
	13/18
	29/22

Принцип непрерывности Дедекинда

	всякая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение, то есть существует по крайней мере одно число, которое принадлежит всем отрезкам данной системы
	у всякого числового множества верхняя (нижняя) грань единственна
	для каждого сечения множества действительных чисел существует число, производящее это сечение

Пусть - точка локального экстремума дифференцируемой функции . Тогда

	$f'(x_0)\ не\ существует$
	$f'(x_0)\neq 0$

Число является пределом $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ числовой функции $f:M\rightarrow R$ . Какие утверждения верны:

	$\exists\lim_{x\rightarrow x_0+0}f(x)=B\neq A\text{ и } \exists\lim_{x\rightarrow x_0-0}f(x)=B\neq A$
	$\exists\lim_{x\rightarrow x_0+0}f(x)=A\text{ и } \exists\lim_{x\rightarrow x_0-0}f(x)=A$
	$\exists\lim_{x\rightarrow x_0+0}f(x)=B\neq A\text{ и } \exists\lim_{x\rightarrow x_0-0}f(x)=A$
	$\exists\lim_{x\rightarrow x_0+0}f(x)=A\text{ и } \exists\lim_{x\rightarrow x_0-0}f(x)=B\neq A$

Предел $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{1/x}$ существует и равен




	$e^{1/x}$

Пусть - точка локального экстремума функции . Тогда производная


	или не существует
	$f'(x_0)\neq 0$
	$f'(x_0)\neq 0$ или не существует
	не существует

Какое условие теоремы Ролля не выполняется для функции $f(x)=x-[x],\quad 0\leq x\leq 1$ , где - означает целую часть от числа:

	непрерывность на
	f(a)=f(b)
	дифференцируемость на

Каким свойством обладает многочлен Тейлора функции :

	$Q^{(k)}_n(x_0)=f^{(k)}(x_0)$
	$Q^{(k)}_n(x_0)=f^{(k)}(x)$
	$Q^{(k)}_n(x)=f^{(k)}(x)$
	$Q^{(k)}_n(x)=f^{(k)}(x_0)$

Функция $f:M\rightarrow R, M\subset R^m$ называется дифференцируемой в точке $x^0\in \overset{0}M$ , если

	$f(x)+f(x^0)=A_1(x_1+x_1^0)+A_2(x_2+x_2^0)+\ldots+A_k(x_k+x_k^0)$
	$f(x)+f(x^0)=A_1(x_1+x_1^0)+A_2(x_2+x_2^0)+\ldots+A_k(x_k+x_k^0)+O(r(x,x^0))$
	$f(x)-f(x^0)=A_1(x_1-x_1^0)+A_2(x_2-x_2^0)+\ldots+A_k(x_k-x_k^0)$
	$f(x)-f(x^0)=A_1(x_1-x_1^0)+A_2(x_2-x_2^0)+\ldots+A_k(x_k-x_k^0)+o(r(x,x^0))$

В условиях теоремы Лагранжа точка с: $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

	принадлежит интервалу
	лежит вне отрезка
	совпадает с концами отрезка или
	хотя бы одна
	единственная

Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Какое утверждение верно:

	если $f'(x)>0,\quad x_0\in (a,b)$ , то локально возрастает
	если возрастает на , то на
	если возрастает на , то на
	если $f'(x)<0,\quad x_0\in (a,b)$ , то локально возрастает
	если на , то возрастает на

Пусть $f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2\neq 0 \\0, & x^2+y^2=0 \end{cases}$ . Какие утверждения верны:

	$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0\quad\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$
	непрерывна на
	дифференцируема в
	$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ непрерывны в

Какое выражение является многочленом Тейлора для раз дифференцируемой в окрестности точки функции

	$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots+f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n$
	$f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n}(x-x_0)^n$
	$f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
	$f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x+x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x+x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x+x_0)^n$

Какие условия являются достаточными для дифференцируемости функции $u=u(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ в точке :

	непрерывна в точке
	Частные производные в точке по каждому аргументу существуют и непрерывны в точке
	существуют частные производные в точке по каждому аргументу

Функция называется возрастающей на $M\subset R$ , если $\forall x_1,x_2\in M: x_1< x_2$


	$f(x_1)\leq f(x_2)$

	$f(x_1)\geq f(x_2)$

Пусть $f(x,y)=\sqrt[3]{xy})$ . Какие утверждения верны:

	$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0\quad\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$
	дифференцируема в
	непрерывна на
	$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ непрерывны в

Пусть $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2})$ . Какие утверждения верны:

	существуют $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$
	дифференцируема в
	непрерывна на
	$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ непрерывны в

Пусть задана функция .Какие утверждения верны:

	если $\exists\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}$ в точке , то дифференцируема в
	если дифференцируема в , то $\exists\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}$ в точке
	если $\exists\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}$ в данной точке , то непрерывна в
	если дифференцируема в , то она непрерывна в

Пусть задана функция . На каких множествах существует неявная функция $y=f(x):\quad F(x,f(x))=0$ :

	$\varnothing$
	$\left\{(x,y):\quad y\leq 0$
	$\left\{(x,y):\quad y\geq 0$

	$\left\{(x,y):\quad y\leq\frac13\right\}$
	$\left\{(x,y):\quad y\geq-\frac12\right\}$

Пусть функция $f=\sin xy$ . Тогда $\text{grad }f$ равен

	$[y\cos xy, \cos xy]$
	$[\cos xy, x\cos xy]$
	$[y\cos xy, x\cos xy]$

Определить градиент функции в точке и найти его модуль (длину):

	$\text{grad }f=[0,0,0]\quad \|\text{grad }f\|=0$
	$\text{grad }f=[2,2,2]\quad \|\text{grad }f\|=2\sqrt{3}$
	$\text{grad }f=[1,1,1]\quad \|\text{grad }f\|=\sqrt{3}$

Пусть задана функция $f=e^{x+y^2}$ . Тогда частные производные 2 порядка равны:

	$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2ye^{x+y^2}\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2(1+2y^2)e^{x+y^2}\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=e^{x+y^2}$
	$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=e^{x+y^2}\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=e^{x+y^2}\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=e^{x+y^2}$
	$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=e^{x+y^2}\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2(1+2y^2)e^{x+y^2}\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2ye^{x+y^2}$

Пусть точка экстремума функции при условии . Тогда линия уровня пересекает кривую $L=\{(x,y):\quad g(x,y)=0\}$ под углом

	$\alpha=0$
	$\alpha\neq 0$
	$\alpha=90^{\circ}$

Пусть выполнены условия существования теоремы о неявной функции. Тогда её производная $\frac{dy}{dx}(x_0)$ равна:

	$-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)}{\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)}$
	$\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)}$
	$\frac{\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)}{\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)}$
	$-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)}$

Точка является точкой локального максимума для функции , если существует окрестность :

	$\forall(x,y)\in U(x_0,y_0)\quad f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$
	$\exists(x,y)\in U(x_0,y_0)\quad f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$
	$\forall(x,y)\in U(x_0,y_0)\quad f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$
	$\exists(x,y)\in U(x_0,y_0)\quad f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$

Если $x \in A$ , то

	- элемент множества

	является подмножеством множества
	не является элементом множества

Какая операция отображена на рисунке?

	пересечение множеств
	разность множеств
	объединение множеств
	симметрическая разность

Чему равно множество $B \setminus A$ , если $A = {x : x^2 - x - 2 > 0}$ , $B = {x : 6x - x^2 \ge 0}$

	${x : 0 \le x \le 2}$

	${x : 0 < x \le 6}$

Сколько подмножеств имеется у множества, состоящего из четырех элементов?

	10
	4
	8
	16

Сравните следующие действительные числа: 3, 3 и 3, 298

	$3, 3 \le 3, 298$

Множество рациональных чисел обозначается через

	Y
	Q
	Z
	R

Ограниченное множество - это

	множество, ограниченное сверху
	множество, ограниченное снизу
	пустое множество
	множество, ограниченное и сверху, и снизу

Сколько существует отображений множества из n элементов в множество из m элементов?

	n / m
	nm
	m / n
	mⁿ

Если , то

	$\inf M = a$ , $\sup M = b$
	$\inf M = ab$ , $\sup M = b/a$
	$\inf M = a/b$ , $\sup M = ab$
	$\inf M = b$ , $\sup M = a$

Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь в виде , если и - натуральные числа, не имеющие общих делителей.

	353/495
	13/2
	2/13
	211/99

Какая операция отображена на рисунке?

	разность множеств
	объединение множеств
	симметрическая разность
	пересечение множеств

Границей $\partial U_{\varepsilon}(x^0)$ открытого шара $U_{\varepsilon}(x^0)$ является множество

	$\{x\in R^k:\quad r(x,x^0)<\varepsilon\}$
	$\{x\in R^k:\quad r(x,x^0)=\varepsilon\}$
	$\{x\in R^k:\quad r(x,x^0)\leq\varepsilon\}$

Пусть - изолированная точка множества $M\subset R^k$ . Какие утверждения верны:

	замкнутое
	содержит граничные точки
	$x^0\in\partial M$
	предельная точка множества
	не открытое множество
	открытое множество

Расстояние в вычисляется по формуле

	$r(x,y)=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}$

	$r(x,y)=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}$

Множество $\Pi=\{x\in R^k:a_j<x_j<b_j\}$ называется

	замкнутым параллелепипедом
	замкнутым шаром радиуса $\varepsilon$
	открытым параллелепипедом
	открытым шаром радиуса $\varepsilon$

Множество $M\subset R^k$ называется компактным, если оно

	ограничено и замкнуто
	ограничено и содержит все свои предельные точки
	ограничено и содержит все свои граничные точки
	ограничено и открыто

Пусть $G=(1,2)\cup\{3\}\cup(4,5]$ . Какое множество является множеством граничных точек :

	$\{3\}$
	$[1,2]\cup[4,5]$
	$(1,2)\cup(4,5)$
	$\{1,2,3,4,5\}$

Окрестностью $U_{}(x^0)$ точки $x^0\in R^k$ называется

	открытый шар радиуса $\varepsilon$ с центром в точке
	замкнутый шар радиуса $\varepsilon$ с центром в точке

Замыканием $\overline{U_{\varepsilon}(x^0)}$ открытого шара $U_{\varepsilon}(x^0)$ является множество

	$\{x\in R^k:\quad r(x,x^0)\leq\varepsilon\}$
	$\{x\in R^k:\quad r(x,x^0)<\varepsilon\}$
	$\{x\in R^k:\quad r(x,x^0)=\varepsilon\}$

Точка называется граничной точкой множества $M\subset R^k$ , если

	$\forall U_{\varepsilon}(x^0)\quad U_{\varepsilon}(x^0)\cap M\neq\varnothing\quad U_{\varepsilon}(x^0)\cap R^k\backslash M\neq\varnothing$
	$\forall U_{\varepsilon}(x^0)\subset M$
	$\forall U_{\varepsilon}(x^0)\subset R^k \backslash M$
	$\exists U_{\varepsilon}(x^0)\subset M$
	$\exists U_{\varepsilon}(x^0)\subset R^k \backslash M$
	$\exists U_{\varepsilon}(x^0)\quad U_{\varepsilon}(x^0)\cap M\neq\varnothing\quad U_{\varepsilon}(x^0)\cap R^k\backslash M\neq\varnothing$

Пусть $x^0\in R^k$ - внутренняя точка множества $M\subset R^k$ . Тогда

	принадлежит множеству
	граничная точка множества $R^k\backslash M$
	граничная точка множества
	предельная точка множества
	принадлежит множеству $R^k\backslash M$
	предельная точка множества $R^k\backslash M$

Множество $M\subset R^k$ является замкнутым, если

	любая его точка внутренняя
	любая точка из его дополнения $R^k\setminus M$ внутренняя
	некоторые его точки внутренние
	некоторые точки из его дополнения $R^k\setminus M$ внутренние

Точка $x_0\in R^k$ называется предельной точкой множества $M\subset R^k$ , если

	$\forall U_{\varepsilon}(x^0):\quad U_{\varepsilon}(x^0)\cap M=x^0$
	$\exists U_{\varepsilon}(x^0) \quad \forall x\neq x^0:\quad x\notin U_{\varepsilon}(x^0)\cap M$
	$\forall U_{\varepsilon}(x^0) \quad \exists x\neq x^0:\quad x\in U_{\varepsilon}(x^0)\cap M$
	$\exists U_{\varepsilon}(x^0):\quad U_{\varepsilon}(x^0)\cap M=x^0$

Множество $M\subset R^k$ называется открытым, если

	некоторые его точки внутренние
	любая точка из его дополнения $R^k\setminus M$ внутренняя
	некоторые точки из его дополнения $R^k\setminus M$ внутренние
	любая его точка внутренняя

Отметьте верные утверждения:

	последовательность вложенных замкнутых шаров в имеет пустое пересечение
	в каждый открытый шар можно вписать замкнутый параллелепипед
	последовательность вложенных замкнутых шаров в имеет непустое пересечение
	последовательность вложенных открытых шаров в имеет пустое пересечение
	последовательность вложенных открытых шаров в имеет непустое пересечение

Какие из следующих множеств являются замкнутыми:

	пересечение любой совокупности замкнутых множеств
	окрестность $U_{\varepsilon}(x^0)$
	пространство
	множество предельных точек множества
	объединение любой совокупности замкнутых множеств
	объединение конечного числа замкнутых множеств

Пусть не является точкой экстремума функции при условии . Тогда линия уровня пересекает кривую $L=\{(x,y):\quad g(x,y)=0\}$ под углом

	$\alpha=0$
	$\alpha=90^{\circ}$
	$\alpha\neq 0$

Поверхностью уровня функции являются

	концентрические сферы с центром в точке
	концентрические сферы с центром в любой точке
	концентрические сферы с центром в точке
	$\left\{(x,y,z): \quad x^2+y^2+z^2=const\right\}$

Сколько непрерывных неявных функций вида определяет уравнение в окрестности точки :

	четыре
	одна
	две
	ни одной

Точка , лежащая на кривой $L=\{(x,y):\quad g(x,y)=0\}$ , является точкой условного максимума, если существует окрестность $U_{\delta}(x_0,y_0)$ :

	$\exists x\in U_{\delta}(x_0,y_0)\cap L\quad f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$
	$\forall x\in U_{\delta}(x_0,y_0)\cap L\quad f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$
	$\exists x\in U_{\delta}(x_0,y_0)\cap L\quad f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$
	$\forall x\in U_{\delta}(x_0,y_0)\cap L\quad f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$

Пусть $G=\{0\}\cup\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^\infty$ . Какие утверждения верны:

	открытое множество
	счетное множество
	имеет только 1 предельную точку

Пусть - особая точка для дифференцируемой функции . Какое условие является достаточным для того, чтобы была точкой локального минимума:

	$D^2f(x_0,y_0)\leq 0$


	$D^2f(x_0,y_0)\geq 0$

Пусть задана функция . Какие утверждения верны:

	если $\existsfrac \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ в точке , то $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$
	если $\exists\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ в точке , то $\exists\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ в точке
	если $\exists\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ в точке , то $\exists\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ в точке
	если $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ непрерывны в точке , то $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$

Точка не является точкой локального максимума для функции , если для любой окрестности :

	$\forall(x,y)\in U(x_0,y_0)\quad f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$
	$\forall(x,y)\in U(x_0,y_0)\quad f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$
	$\exists(x,y)\in U(x_0,y_0)\quad f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$
	$\exists(x,y)\in U(x_0,y_0)\quad f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$

- множество иррациональных чисел. Какие утверждения верны:

	- замкнутое множество
	не является открытым
	любая его точка является граничной
	содержит хотя бы одну изолированную точку

Пусть числовая последовательность $\left\{a_n\right\}$ сходится, $\left\{b_n\right\}$ расходится. Тогда последовательность $\left\{a_n+b_n\right\}$

	всегда сходится
	может сходится или расходится
	всегда расходится

Найдите предел последовательности $\left\{y_n=x_n\cdot x_{n+1}\right\}$ , если $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=a$ . Выберете правильные ответ:

Пусть $\lim_{n\rightarrow\infty}a^n=a,\lim_{n\rightarrow\infty}a^n=b$ . Тогда


	$a\leq b \vee a\geq b$

Пусть числовые последовательности $\left\{a_n\right\}$ и $\left\{b_n\right\}$ сходятся и $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b$ . Тогда последовательность $\left\{a_n\cdot b_n\right\}$ сходится и ее предел равен


	$a\cdot b$

Пусть $\left\{a^n\right\}$ сходящаяся и $\lim_{n\rightarrow\infty}a^n=a$ . Тогда

	$\left\{a^{k_n}\right\}\neq\left\{a^{l_n}\right\} \text{ сходится и } \lim_{n\rightarrow\infty} a^{k_n} \neq \lim_{n\rightarrow\infty} a^{l_n}$
	$\forall\left\{a^{k_n}\right\} \text{ сходится и }\lim_{n\rightarrow\infty} a^{k_m}=a$
	$\exists\left\{a^{k_n}\right\}: \text{ сходится и }\lim_{n\rightarrow\infty} a^{k_m}=b\neq a$

Пусть $\left\{a^n\right\}$ - неограниченная последовательность в пространстве . Какие утверждения верны:

	$\left\{a^n\right\}$ расходится
	в некоторой окрестности лежит бесконечное число точек $\left\{a^n\right\}$
	из $\left\{a^n\right\}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Последовательность $\left\{a^n\right\}$ точек в - это отображение

	$f:Q\rightarrow R^k$
	$f:R\rightarrow R^k$
	$f:N\rightarrow R^k$

Точка $a\in R^k$ называется пределом последовательности $\left\{a^n,n=1,2\ldots\right\}$ ,если

	$\exists\varepsilon>0\quad\exists N:\quad \forall n>N\quad a^n\in U_{\varepsilon}(a)$
	$\forall\varepsilon>0\quad\exists N:\quad \forall n>N\quad a^n\in U_{\varepsilon}(a)$
	$\forall\varepsilon>0\quad N:\quad \forall n>N\quad a^n\notin U_{\varepsilon}(a)$

Множество частичных пределов $\left\{a^n\right\}$ состоит из одного элемента $\left\{a\right\}$ . Тогда последовательность $\left\{a^n\right\}$

	сходится и $\lim_{n\rightarrow\infty}a^n=a$
	сходится и $\lim_{n\rightarrow\infty}a^n\neq a$
	расходится

Пусть числовая последовательность $\left\{a_n\right\}$ ограничена. - множество частичных пределов последовательности $\left\{a_n\right\}$ . Какие утверждения верны:

	- замкнутое
	- открытое
	- ограничено
	- неограниченное

Число $b\in R_k$ называется частичным пределом последовательности $\left\{a^n\right\}$ , если

	$\forall\left\{a^{k_n}\right\}:\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a^{k_m}=b$
	$\exists\left\{a^{k_n}\right\}:\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a^{k_m}=b$
	$\exists\left\{a^{k_n}\right\}:\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a^{k_m}\neq b$

Пусть числовая последовательность $\left\{a_n\right\}:a_n\leq a_{n+1}\quad \forall n$ . Тогда она

	немонотонная
	неубывающая
	невозрастающая
	ограниченная

Пусть числовая последовательность $\left\{a_n\right\}$ сходится, $\left\{b_n\right\}$ расходится. Тогда последовательность $\left\{a_n\cdot b_n\right\}$

	всегда сходится
	может сходится или расходится
	всегда расходится

Найдите предел последовательности $\left\{y_n=2x_n-x_{n+1}\right\}$ , если $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=a\neq 0$ . Выберете правильные ответ:

Пусть числовая последовательность $\left\{a_n\right\}$ ограничена. Тогда

	любая подпоследовательность $\left\{a_{k_n}\right\}$ расходится
	существует только одна сходящаяся подпоследовательность $\left\{a_{k_n}\right\}$
	любая подпоследовательность $\left\{a_{k_n}\right\}$ сходится
	существует хотя бы одна сходящаяся подпоследовательность $\left\{a_{k_n}\right\}$

Пусть $\left\{a^n\right\}$ сходящаяся. Какие утверждения верны:

	множество частичных пределов $\left\{a^n\right\}$ бесконечно
	множество частичных пределов $\left\{a^n\right\}$ - пустое множество
	множество частичных пределов $\left\{a^n\right\}$ состоит из $m(m\neq 1)$ элементов
	множество частичных пределов $\left\{a^n\right\}$ состоит из одного элемента

Пусть числовая последовательность $\left\{a_n\right\}$ сходится и $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$ . -множество частичных пределов $\left\{a_n\right\}$ . Какие утверждения верны:

	$\overline{\lim_{n\rightarrow\infty} a_n}=\underline{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n} = a$
	$\overline{\lim_{n\rightarrow\infty} a_n}=\underline{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n} \neq a$
	$\sup P=\inf P\neq a$
	$\sup P\neq\inf P$

Найдите предел последовательности $\left\{y_n=(x_{n+1}-x_n)^n}\right\}$ , если $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=a\neq 0$ . Выберете правильные ответ:

Пусть $\left\{a_n=n\quad n=1,2,\ldots\right\}$ , - множество частичных пределов $\left\{a_n\right\}$ . Какие утверждения верны:

	$P\neq\varnothing$
	$\left\{a_n\right\}$ неубывающая
	$\left\{a_n\right\}$ сходится
	$\left\{a_n\right\}$ ограничена сверху
	$P=\varnothing$

Пусть числовая последовательность $\left\{a_n\right\},P$ - множество частичных пределов $\left\{a_n\right\}$ . Верхний предел числовой последовательности $\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}$ - это

	верхняя грань множества , большая $\sup P$
	$\inf P$
	$\sup P$
	нижняя грань множества , меньшая $\inf P$

Пусть $\left\{a_n=\frac{(-1)^n}{n},\quad n=1,2,\ldots\right\}$ . Какие утверждения верны:

	$\left\{a_n\right\}$ ограничена
	$\left\{a_n\right\}$ неубывающая
	$\left\{a_n\right\}$ сходится

Пусть задана функция $f:U_{\delta}(x_0)\rightarrow R$ . Пусть существует обратная к ней функция $f^{-1}(y)$ . Какие утверждения справедливы:

	непрерывна в или непрерывна в
	$\forall x_1,x_2\in U_{\delta}(x_0):\quad x_1\neq x_2\quad f(x_1)\neq f(x_2)$
	непрерывна в и непрерывна в
	$\exists x_1,x_2\in U_{\delta}(x_0):\quad x_1\neq x_2\quad f(x_1)=f(x_2)$

На каком множестве функция $u=\frac{\sin(x+y)}{x+y}$ является непрерывной:


	$\{x,y\in R^2:x+y=0\}$
	$R^2\backslash\{x=0,y=0\}$
	$R^2\backslash\{x,y\in R^2:x+y=0\}$

Точка называется пределом функции $f:M\rightarrow R^k,\quad M\subset R^m$ при стремлениии $x\rightarrow x^0$ , если

	$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x\in U_{\delta}(x^0)\quad r(f(x),y^0)< \varepsilon$
	$\exists\varepsilon>0\quad \forall\delta>0:\quad \exists x\in U_{\delta}(x^0)\quad r(f(x),y^0)\geq \varepsilon$
	$\exists\varepsilon>0\quad \forall\delta>0:\quad \exists x\in U_{\delta}(x^0)\quad r(f(x),y^0)> \varepsilon$
	$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x\in U_{\delta}(x^0)\quad r(f(x),y^0)\leq \varepsilon$

Пусть $f,g:M\rightarrow R,\quad M\subset R^m$ . $\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=A$ и $\lim_{x\rightarrow x^0}g(x)=B, B\ne 0$ . Тогда функция имеет предел и он равен

	$A\cdot B$

Функция $f:M\rightarrow R$ называется непрерывной в точке $x_0\in M$ , если

	$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad r(f(x),f(x^0))<\varepsilon$
	$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad r(f(x),f(x^0))\leq\varepsilon$
	$\forall\varepsilon>0\quad \forall\delta>0:\quad \forall x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad r(f(x),f(x^0))<\varepsilon$
	$\exists\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad r(f(x),f(x^0))<\varepsilon$

Пусть задана функция $f:U_{\delta}(x_0)\rightarrow R$ . Пусть существует обратная к ней функция $f^{-1}(y)$ . Какие утверждения справедливы:

	$\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=f(x^0)\quad \lim_{y\rightarrow f(x^0)}f^{-1}(y)\neq f^{-1}(f(x^0))$
	$\forall x_1,x_2\in U_{\delta}(x_0):\quad x_1\neq x_2\quad f(x_1)\neq f(x_2)$
	$\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=f(x^0)\quad \lim_{y\rightarrow f(x^0)}f^{-1}(y)= f^{-1}(f(x^0))$
	$\exists x_1,x_2\in U_{\delta}(x_0):\quad x_1\neq x_2\quad f(x_1)=f(x_2)$

Пусть $\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=y^0$ . Какие утверждения справедливы:

	$\exists\left\{x^n\right\}:\quad \lim_{n\rightarrow\infty}x^n=x^0,x^n\neq x^0\quad \lim_{n\rightarrow\infty}f(x^n)=y^0$
	$\exists\left\{x^n\right\}:\quad \lim_{n\rightarrow\infty}x^n=x^0,x^n\neq x^0\quad \overline{\exists} \lim_{n\rightarrow\infty}f(x^n)$
	$\forall\left\{x^n\right\}:\quad \lim_{n\rightarrow\infty}x^n=x^0,x^n\neq x^0\quad \lim_{n\rightarrow\infty}f(x^n)=y^0$

Функция $f:M\rightarrow R$ называется непрерывной в точке $x^0\in M$ , если

	$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad f(x)\notin U_{\varepsilon}(f(x^0))$
	$\forall\varepsilon>0\quad \forall\delta>0:\quad \forall x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad f(x)\in U_{\varepsilon}(f(x^0))$
	$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \exists x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad f(x)\in U_{\varepsilon}(f(x^0))$
	$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad f(x)\in U_{\varepsilon}(f(x^0))$

Пусть задана функция $f:K\rightarrow R,\quad K\subset R^k$ . Какие утверждения справедливы:

	если непрерывная, то достигает своих верхней и нижней грани на , - ограниченное множество
	если непрерывная, то достигает своих верхней и нижней грани на , - компакт
	если непрерывная, то достигает своих верхней и нижней грани на , - замкнутое множество

Пусть $\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=y^0$ . Тогда

	ограничена в любой окрестности точки
	неограниченна
	ограничена в некоторой окрестности точки
	ограничена в открытом множестве, содержащем

Последовательность $\left\{a^n\right\}$ в пространстве называется нефундаментальной, если

	$\exists\varepsilon>0\quad \forall N:\quad \exists n,m>N\quad r(a^n,a^m)\geq \varepsilon$
	$\exists\varepsilon>0\quad \exists N:\quad \forall n,m>N\quad r(a^n,a^m)< \varepsilon$
	$\forall\varepsilon>0\quad \exists N:\quad \forall n,m>N\quad r(a^n,a^m)< \varepsilon$
	$\forall\varepsilon>0\quad \exists N:\quad \forall n,m>N\quad r(a^n,a^m)\leq \varepsilon$

Точка является точкой локального минимума для функции $f:C\rightarrow R,\quad C \subset R^k$ при условиях $g_1(x)=0,\ldots g_m(x)=0$ , если для $x^0\in C\cap M,\quad M=\left\{x\in R^k:g_1(x)=0,\ldots g_m(x)=0\right\}$ существует окрестность $U_{\delta}(x^0)$ :

	$\exists x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad f(x)\leq f(x^0)$
	$\forall x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad f(x)\geq f(x^0)$
	$\exists x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad f(x)\geq f(x^0)$
	$\forall x\in U_{\delta}(x^0)\cap M\quad f(x)\leq f(x^0)$

Пусть задана последовательность $\left\{a^n\right\}$ в и $\forall\varepsilon>0\quad \exists N:\quad \forall n,m>N\quad r(a^n,a^m)< \varepsilon$ .Тогда (по определению) это последовательность называется

	ограниченной
	фундаментальной
	сходящейся

Пусть задана функция $f:K\rightarrow R^k$ . Какие утверждения справедливы:

	если непрерывная, то ограниченная на , - замкнутое множество
	если ограниченная, то непрерывная , - компактное множество
	если непрерывная, то ограниченная на , - компактное множество
	если ограниченная, то непрерывная , - замкнутое множество

Пусть задана функция $f:K\rightarrow R^k$ , - компактное множество. Какой может быть функция на множестве :

	разрывная и неограниченная
	непрерывная и неограниченная
	непрерывная и ограниченная

Пусть задана функция $f:K\rightarrow R,\quad K\subset R^k$ - компактное множество. Какой может быть функция на множестве :

	непрерывная и достигает своей верхней или нижней грани на
	непрерывная и не достигает своих верхней и нижней грани на
	разрывная и достигает своих верхней и нижней грани на
	разрывная и не достигает своих верхней и нижней грани на

Пусть $f:M\rightarrow R^k,\quad M\subset R^m$ . Для каких множеств справедливо утверждение: из непрерывности на множестве функции следует ее равномерная непрерывность:

	- ограниченное множество
	- компактное множество
	- замкнутое множество

Пусть - точка условного экстремума функции $f:C\rightarrow R$ и задана функция Лагранжа $L(x,\lambda)$ . Тогда

	$\text(grad)_x L(x^0,\lambda^0)=0$
	$\frac{\partial L}{\partial x_j}\neq 0$
	$\frac{\partial L}{\partial x_j}=0,\quad j=1,\ldots,k$

Уравнение касательной к графику функции $y=\sin x$ в точке $x=\pi$

	$y=-x+\pi$
	$y=x-\pi$

	$y=x+\pi$
	$y=-x-\pi$

Пусть - точка, в которой или не существует. Какие утверждения верны:

	не является точкой экстремума
	- точка возможного экстремума
	- точка локального экстремума

Пусть $f:M\rightarrow R^k,\quad M\subset R^m$ и $\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad \forall x,y\in M:\quad r(x,y)<\delta \Rightarrow r(f(x),f(y))<\varepsilon$ . Тогда функция называется

	непрерывной на множестве $\overline{M}$
	равномерно непрерывной на множестве $\overline{M}$
	непрерывной на множестве
	равномерно непрерывной на множестве

Пусть $f:K\rightarrow R^k$ непрерывная функция. Какие утверждения верны:

	если компактное множество, то и компактное множество
	если замкнутое множество, то и замкнутое множество
	если открытое множество, то и открытое множество

Пусть функция задана на множестве $M=\left\{(x,y): \quad x^2+y^2=1\right\}$ . Тогда

	наибольшее значение функции на множестве достигается в точках $x=\pm 1$
	наибольшее значение функции на множестве достигается более чем в одной точке
	наибольшее значение функции на множестве достигается только в одной точке
	наибольшее значение функции на множестве достигается в точке

Найти предел последовательности $f_n(x)=\frac{n^2}{n^2+x^2}$ на множестве :

Какие условия достаточны для того, чтобы функциональный ряд $\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)=S(x)$ сходился равномерно на множестве :

	$\|u_k(x)\|<a_k,\quad k\in N,\quad x\in E\quad \sum_{k=1}^{\infty}a_k=+\infty$
	$\|u_k(x)\|<a_k,\quad k\in N,\quad x\in E\quad \sum_{k=1}^{\infty}a_k<+\infty$
	$\|u_k(x)\|<a_k,\quad k\in N,\quad x\in E\quad \sum_{k=1}^{\infty}a_k=0$

Последовательность сходится неравномерно на множестве

Последовательность $\{f_n(x)\}$ сходится к равномерно на множестве $C\subset M$ , если

	$\forall\varepsilon>0\quad \exists N:\quad \forall n\geq N\quad \forall x\in C\quad \|f_n(x)-f(x)\|<\varepsilon$
	$\exists\varepsilon>0\quad \forall N:\quad \exists n\geq N\quad \exists x\in C\quad \|f_n(x)-f(x)\|\geq\varepsilon$
	$\exists\varepsilon>0\quad \forall N=N_{\varepsilon}(x):\quad \exists n\geq N\quad \|f_n(x)-f(x)\|\geq\varepsilon$
	$\forall\varepsilon>0\quad \exists N=N_{\varepsilon}(x):\quad \forall n\geq N\quad \|f_n(x)-f(x)\|<\varepsilon$

Точка называется точкой сходимости функциональной последовательности $\{f_n(x)\}$ , если

	$\exists\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x_0)$
	числовая последовательность $\{f_n(x_0)\}$ сходится
	числовая последовательность $\{f_n(x_0)\}$ расходится
	$\overline{\exists}\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x_0)$

Функциональный ряд называется сходящимся в точке $x_0\in E$ , если

	$\overline{\exists}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n u_k(x_0)$
	числовой ряд $\sum_{k=1}^{\infty} u_k(x_0)$ сходится
	числовой ряд $\sum_{k=1}^{\infty} u_k(x_0)$ расходится
	$\exists\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n u_k(x_0)$

Последовательность $\{f_n(x)\}$ сходится к неравномерно на множестве $C\subset M$ , если она

	сходится к и $\forall\varepsilon>0\quad \exists N:\quad \forall n\geq N\quad \forall x\in C\quad \|f_n(x)-f(x)\|< \varepsilon$
	сходится к и $\exists\varepsilon>0\quad \exists N:\quad \forall n\geq N\quad \exists x\in C\quad \|f_n(x)-f(x)\|\geq \varepsilon$
	не сходится к и $\exists\varepsilon>0\quad \exists N:\quad \forall n\geq N\quad \exists x\in C\quad \|f_n(x)-f(x)\|\geq \varepsilon$
	не сходится к и $\forall\varepsilon>0\quad \exists N:\quad \forall n\geq N\quad \forall x\in C\quad \|f_n(x)-f(x)\|< \varepsilon$

Функциональный ряд $\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)$ сходится равномерно к функции на множестве тогда и только тогда, когда

	$\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in E}\left\|\sum_{k=1}^n u_k(x)-S(x)\right\|\neq 0$
	$\overline{\exists}\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in E}\left\|\sum_{k=1}^n u_k(x)-S(x)\right\|$
	$\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in E}\left\|\sum_{k=1}^n u_k(x)-S(x)\right\|=0$

Пусть последовательность $\{f_n(x)\}$ равномерно сходится к на множестве . Какие утверждения верны:

	если непрерывны на , то непрерывна на
	если разрывны на , то разрывна на
	последовательность разрывных на функций может сходиться к непрерывной
	последовательность ограниченных на функций сходится к неограниченной

Какое уравнения является обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка?

	$y''+y'=\cos x$

Если непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности и - решения задачи Коши $y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0$ , то

	в некоторой окрестности
	на всей области определения

Какое множество является множеством непрерывности суммы ряда $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$


	вся числовая прямая

Что является общим решением дифференциального уравнения $y'=\sin 5x$ :

	$-\cos 5x+C$
	$-5\cos 5x+C$
	$-\frac15 \cos 5x+C$

Пусть у задачи Коши $y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0$ решение $y_2(x),x\in I_2$ является продолжением решения $y_1(x),x\in I_1$ . Тогда

	$I_1\cap I_2=\varnothing$
	$I_1\supset I_2$
	$I_1\subset I_2$

Пусть задана задача Коши $y'=\sqrt{|y|},\quad y(0)=0$ . Тогда

	в любой окрестности выполнено условие Липшица
	решение задачи существует, но не единственно
	через начало координат проходит единственная интегральная кривая данного уравнения

Радиус сходимости степенного ряда $\sum_{k=1}^{\infty}a_k(x-x_0)^k$ равен

	$\underline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{\|a_n\|}<+\infty$
	$\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{\|a_n\|}<+\infty$
	$\underline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\frac{1}{\sqrt[n]{\|a_n\|}}<+\infty$
	$\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\frac{1}{\sqrt[n]{\|a_n\|}}<+\infty$

Пусть - интервал сходимости степенного ряда $\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k$ . Тогда

	если , то ряд сходится
	ряд сходится в точке
	если , то ряд расходится

Если $\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=0$ , то интервал сходимости ряда $\sum_{k=1}^{\infty}a_k(x-x_0)^k$

	равен интервалу
	вырождается в одну точку
	равен числовой прямой

Что является общим решением дифференциального уравнения $y'=e^{-2x}$ :

	$-\frac12 e^{-2x}+C$
	$-2e^{-2x}+C$
	$-e^{-2x}+C$

Что является общим решением дифференциального уравнения $y'=\frac{1}{\sin^2 x}$ :

	$-\ctg 2x+C$
	$-\ctg x+C$
	$-\frac12\ctg 2x+C$
	$-2\ctg x+C$

Пусть - интервал сходимости степенного ряда $\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k$ . Тогда

	ряд расходится в точке
	если $x_1\in(R,2R)$ , то ряд сходится
	если $x_1\in(-3R,-R)$ , то ряд расходится

Уравнение $y'=\frac{x^2-y^2}{x^2+2y^2}$ является

	линейным уравнением
	уравнением с разделяющимися переменными
	однородным уравнением

Пусть у задачи Коши $y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0$ решение $y_2(x),x\in I_2$ является продолжением решения $y_1(x),x\in I_1$ . Тогда

	$y_1(x)=y_2(x)\quad \forall x\in I_1$
	$y_1(x)=y_2(x)\quad \forall x\in I_2$
	$y_1(x)=y_2(x)\quad \forall x\in D$

Решение задачи Коши $y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0$ может быть продолжено

	на всю область определения
	до границы замкнутого подмножества $C\subset D$
	до границы компактного подмножества $C\subset D$
	до границы ограниченного подмножества $C\subset D$

Пусть $C \subset(x_0-R,x_0+R)$ - подмножество интервала сходимости. Тогда ряд сходится на множестве равномерно, если оно

	компактное
	произвольное
	замкнутое
	ограниченное

Пусть задан ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k}$ . Какие утверждения верны:

	интервал сходимости ряда – множество
	на концах интервала сходимости ряд расходится
	сумма ряда неограниченна в окрестности 1
	на концах интервала сходимости ряд сходится
	ряд сходится равномерно на

Какие утверждения для задачи Коши $y'=f(x,y), \quad y(x_0)=y_0$ верны:

	если ограничена в окрестности , то решение задачи Коши существует и единственно
	если непрерывна в окрестности , то решение задачи Коши существует и единственно
	если непрерывна и не удовлетворяет условию Липшица в окрестности , то решение задачи Коши существует, но он не единственно

Какие утверждения верны:

	каждый степенной ряд имеет ненулевой интервал сходимости
	интервал сходимости степенного ряда может равняться одной точке
	каждый степенной ряд является функциональным
	интервал сходимости степенного ряда может равняться числовой прямой
	каждый функциональный ряд является степенным