Ответы на курс: Введение в теорию вероятностей

Пусть \Omega\{1,2,3,4,5\},\;F-\text{ минимальная }\sigma-\text{алгебра,} содержащая множества {1, 2} и {5}. Укажите множества, принадлежащие F.
прав.ответ
\{1,2,3,4\}
прав.ответ
\varnothing
прав.ответ
\{1,2,5\}
\{3,5\}

Прибор состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,01. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что не откажет ни один элемент.
0,184
0,271
0,002
прав.ответ 0,368

Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно одна деталь будет бракованной.
0,271
0,184
0,002
прав.ответ 0,368

Симметричную игральную кость подбрасывают 6 раз. Какова вероятность при этом выбросить каждую грань по разу?
56/66
1/65
1/66
прав.ответ 6!/66

Какая формула вычисляет вероятность получить ровно семь попаданий при восьми выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?
7 · 0,97 · 0,1
прав.ответ 8 · 0,97 · 0,1
1 - 0,98
0,97 · 0,1

Стрелок, попадающий в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1, ведет стрельбу до первого попадания. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что потребуется не менее трех патронов?
0,243
прав.ответ 0,81
0,1
0,081

Из урны, содержащей 10 одинаковых на ощупь шаров, среди которых один черный, наугад вынимали по одному шару 12 раз, всякий раз возвращая вынутый шар обратно и перемешивая шары в урне. Все 12 раз был вынут черный шар. С какой вероятностью следующий наудачу вынутый шар снова окажется черным?
(0, 1)13
прав.ответ 0, 1
13 · (0, 1)13
(0, 1)12

Какая из формул вычисляет вероятность при шести подбрасываниях симметричной игральной кости ровно один раз выбросить шесть очков?
(5/6)6
1 - (1/6)7
прав.ответ (5/6)5
1

Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока на кости впервые не выпадет четное число очков. Какова вероятность того, что придется бросить кость пять раз?
5/32
прав.ответ 1/32
5/6
1/16

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске выпадет шесть очков?
1
прав.ответ 1/6
(5/6)29 · (1/6)
5 · (5/6)30

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске снова не выпадет шесть очков?
(5/6)^{30}
\frac{(5/6)^{29}}{(5/6)^{30}}
прав.ответ
5/6
30\cdot (5/6)^{30}

Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет герб?
15/215
15!/215
прав.ответ 1/2
1/215

Пусть случайная величина \xi принимает только значения -2, -1, 0, 1, 2, 3 с одинаковой вероятностью p. Найдите P(\xi \le 0).
прав.ответ 0,5
1
1/6
0

Выберите верное утверждение:
прав.ответ если P(\xi<x)=P(\eta<x)\quad\text{для любого}\;x\in\mathbb R, то распределения случайных величин \xi и \eta совпадают
P(a\le\xi\le b)=F_\xi(a)-F_\xi(b)
сингулярное распределение может быть сосредоточено на множестве рациональных чисел
плотность абсолютно непрерывного распределения в любой точке равна производной от функции распределения

Пусть распределение случайной величины \xi задано функцией распределения:
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ x/2, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right. Выберите верные утверждения.
прав.ответ
P(0,1 < \xi < 0,5) = 0, 2
\text{распределение случайной величины }\xi\text{ дискретно}
P(\xi = 1) = 0
\text{распределение случайной величины }\xi\text{ абсолютно непрерывно }
прав.ответ
P(\xi \ge 1) = 0, 5

Пусть распределение случайной величины \xi задано плотностью распределения:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c(1-x), & \text{если}\;0\le x\le1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght. Выберите верные утверждения.
прав.ответ
P(\xi \le 0,5) = 0,75
c = 1
P(\xi = 0,5) = 1
P(\xi \ge 0,5) = 0,5

Пусть распределение случайной величины \xi задано функцией распределения:
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ 0,25, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right. Выберите верные утверждения.
прав.ответ
P(\xi = 1) = 0,75
прав.ответ
\text{распределение случайной величины }\xi\text{ дискретно}
P(0,1 < \xi < 0,5) = 0, 25
\text{распределение случайной величины }\xi\text{ абсолютно непрерывно}
P(\xi = 0,5) = 0,25

Пусть \Omega=\{a,b,c\},\;F=\{\Omega,\varnothing, \{a\},\{b,c\} \}. Какие из следующих функций являются случайными величинами?
прав.ответ
\xi(a)=0,\;\xi(b)=1,\;\xi(c)=1
\xi(a)=0,\;\xi(b)=1,\;\xi(c)=2
прав.ответ
\xi(a)=\xi(b)=\xi(c)=-5
\xi(\Omega)=0,\; \xi(\varnothing)=1,\;\xi(\{a\})=2,\;\xi(\{b, c\})=3

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?
прав.ответ
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & \text{если}\;0\le x\le\pi/2,\\ 0 & \text{иначе} \end{array}\raght.
прав.ответ
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x, & \text{если}\;0\le x\le 1,\\ 0, & \text{иначе}\end{array}\raght.
f(x)=0,2\quad\text{для любого}\;x\in\mathbb{R}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2, & \text{если}\;x\in[0;1],\\ -1, & \text{если}\;x\in(1;2],\\ 0, & \text{иначе} \end{array}\raght.

Пусть распределение случайной величины \xi задано плотностью распределения:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}cx, & \text{если}\;0\le x\le1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght. Выберите верные утверждения.
прав.ответ
c = 2
прав.ответ
P(\xi = 0,5) = 0
P(\xi \le 0,5) = 0,5
прав.ответ
P(\xi \ge 0,5) = 0,75

Выберите распределения, для которых вероятность P(0 \le \xi \le 4) является наибольшей среди перечисленных.
B_{5, 1/2}
N_{2, 1/9}
прав.ответ
U_{0, 4}
N_{6, 1}

Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока впервые не выпадет шесть очков. Какое распределение имеет число выполненных бросаний кости?
биномиальное с параметрами 6 и 1/6
равномерное на отрезке от 0 до 6
распределение Пуассона с параметром 6
прав.ответ геометрическое с параметром 1/6

Выберите верные утверждения.
\Phi_{0, 1}(0) = 0
\Phi_{0, 1}(-x) = \Phi_{0, 1}(x)
\Phi_{0, 1}(-1) = 0
прав.ответ
\Phi_{0, 1}(x) = 1 - \Phi_{0, 1}(-x)

Случайная величина \xi имеет показательное распределение с параметром 2. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.
P(\xi > \ln 2) < P(\xi = 5) < P(\xi < \ln 2)
P(\xi < \ln 2) < P(\xi = 5) < P(\xi > \ln 2)
P(\xi < \ln 2) < P(\xi > \ln 2) < P(\xi = 5)
прав.ответ
P(\xi = 5) < P(\xi > \ln 2) < P(\xi < \ln 2)

Выберите распределения, для которых вероятность P(-3 \le \xi \le 3) является наибольшей среди перечисленных.
прав.ответ
N_{0, 1}
B_{5, 1/2}
U_{-5, 5}
N_{3, 1}

Случайная величина \xi имеет нормальное распределение с плотностью распределения f(x)=\frac1{\sqrt{18\pi}}e^{-\frac1{18}(x+1)^2}. Пусть \Phi_{0,1}(x) — функция распределения стандартного нормального распределения. Чему равно значение вероятности P(-1 < \xi < 5)?
\Phi_{0,1}(2/3) - \Phi_{0,1}(0)
\Phi_{0,1}(16) - \Phi_{0,1}(-2)
\Phi_{0,1}(5) - \Phi_{0,1}(-1)
прав.ответ
\Phi_{0,1}(2) - \Phi_{0,1}(0)

Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают сразу три шара. Случайная величина \xi равна числу черных шаров среди выбранных. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.
P(\xi = 3) < P(\xi = 2) < P(\xi = 1)
P(\xi = 1) < P(\xi = 2) < P(\xi = 3)
P(\xi = 1) < P(\xi = 3) < P(\xi = 2)
прав.ответ
P(\xi = 3) < P(\xi = 1) < P(\xi = 2)

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина \xi равна сумме выпавших очков, случайная величина \eta равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события {\xi = 6; \eta = 0}.
5/36
1/18
1/36
прав.ответ 1/12
125/1296

Выберите свойства, которыми обладает любая функция совместного распределения.
зная частные распределения, можно найти функцию совместного распределения
прав.ответ функция совместного распределения не убывает по каждой переменной
прав.ответ зная функцию совместного распределения, можно найти частные функции распределения
функция совместного распределения непрерывна по каждой переменной

Укажите высказывания, которые справедливы для любых случайных величин \xi и \eta с дискретными распределениями.
\text{если }\xi \equiv \eta,\text{ то }\xi\text{ и }\eta\text{ зависимы.}
прав.ответ
\text{если }P(\xi = 2, \eta = 3) \ne P(\xi = 2)P(\eta = 3),\text{ то случайные величины }\xi\text{ и }\eta\text{ зависимы}
\text{если }P(\xi = 2, \eta = 3) = P(\xi = 2)P(\eta = 3),\text{ то случайные величины }\xi\text{ и }\eta\text{ независимы}
\text{если }P(\xi < 2, \eta < 3) = P(\xi < 2)P(\eta < 3),\text{ то случайные величины }\xi\text{ и }\eta\text{ независимы}

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина \xi равна сумме выпавших очков, случайная величина \eta равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события \{{\xi = 3; \eta = 1}\}.
1/12
1/36
прав.ответ 1/18
5/324
5/36

Пусть случайный вектор (\xi, \eta) имеет абсолютно непрерывное распределение с постоянной плотностью во всех точках ромба |x|+|y| \le 1. Вне ромба плотность нулевая. Каково значение плотности внутри ромба?
1/?
прав.ответ 1/2
1
1/2?

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина \xi равна сумме выпавших очков, случайная величина \eta равна числу выпавших двоек. Укажите вероятность события {\xi = 5; \eta = 1}.
5/162
5/36
1/12
1/36
прав.ответ 1/18

Пусть \xi\sim E_2,\;\eta=2\xi-5. Укажите значение плотности распределения случайной величины \eta в точке x = 3.
0, 5(1 - e^{-8})
4e^{-6} - 5
4e^{-32}
прав.ответ
e^{-8}

Пусть \xi\sim G_{1/2},\;\eta=4\xi. Укажите значение вероятности P(\eta = 8).
прав.ответ 1/4
1/32
1/6
1/8

Случайная величина \xi имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f(x). Пусть \eta = 2\xi+1. Какова плотность распределения случайной величины \eta?
f((x - 1)/2)
2f(2x + 1)
2f(x) + 1
прав.ответ
f((x - 1)/2)/2

Пусть \xi\sim N_{0,1},\;\eta=-2\xi+1. Укажите распределение случайной величины \eta.
N_{0, 1}
прав.ответ
N_{1, 4}
N_{1,-4}
N_{-1, 4}

Даны пять независимых в совокупности случайных величин \xi_1, \ldots , \xi_5 с одним и тем же распределением Бернулли с параметром 1/2. Найдите P(\xi_1+\ldots+\xi_5 = 3).
1/8
прав.ответ 5/16
1/32
0

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин \xi\sim B_{1,1/3}\;\text{и}\;\eta\sim B_{5,1/3}.
B_{6, 2/3}
N_{6, 2/3}
\Pi_6
прав.ответ
B_{6, 1/3}

К случайной величине, имеющей абсолютно непрерывное распределение, прибавили 5. Выберите верные высказывания.
прав.ответ тогда график ее плотности сдвинется вправо на 5
тогда график ее плотности сдвинется влево на 5
тогда график ее функции распределения сдвинется влево на 5
прав.ответ тогда график ее функции распределения сдвинется вправо на 5

Пусть \xi\sim U_{0,1}\;\eta=3\xi+2. Укажите значение плотности распределения случайной величины \eta в точке x = 3.
прав.ответ 1/3
0
1
5

Укажите распределение разности двух независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами a = 1, \sigma^2 = 1.
прав.ответ
N_{0, 2}
N_{0, 0}
I_0
N_{0, 1}

Пусть \xi\sim U_{0,1}. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение E_2.
прав.ответ
-0,5 \ln(1 - \xi)
\ln \xi
2e_{-2\xi}
1 - e_{-2\xi}

Найдите Ee^{\xi}, если случайная величина \xi имеет распределение с плотностью
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3\cdot e^{-3x}, & x>0,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.
e1/3
1/3
прав.ответ 3/2
1

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь (1) B_{4, 3/4}; (2) \Pi_2; (3) E_2; (4) G_{1/5}.
1,2,4,3
прав.ответ 3,2,1,4
3,1,4,2
4,3,1,2
2,3,1,4

Считая, что \xi \ge 0 п. н. и указанные математические ожидания существуют, выберите верные неравенства.
\sqrt[5]{E\xi^5}\le\sqrt[4]{E\xi^4}
E\left(\frac1\xi\right)\le\frac1{E\xi}
прав.ответ
E\xi^2\ge(E\xi)^2
прав.ответ
E2^\xi\ge2^{E\xi}

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.
прав.ответ распределение, плотность которого равна нулю вне некоторого отрезка [a, b]
прав.ответ распределение с функцией распределения F(x)=1-\frac 1{x^2}\text{ при }x>1
распределение с функцией распределения F(x)=1-\frac 1{\sqrt x}\text{ при }x>1
распределение P(\xi=3^k)=\frac2{3^k},\;k=1,2,\ldots

Выберите верные утверждения.
математическое ожидание всегда неотрицательно
прав.ответ E\xi существует тогда и только тогда, когда E|\xi| < \infty
если существует математическое ожидание случайной величины, то существует и дисперсия
если случайная величина может принимать сколь угодно большие значения, то ее математическое ожидание не существует

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.
прав.ответ распределение P(\xi=k^2)=\frac1{2^k},\;k=1,2,\ldots
прав.ответ распределение с плотностью f(x)=\frac4{x^5}\text{ при }x>1
распределение с плотностью f(x)=\frac1{2x^2}\text{ при }|x|>1
прав.ответ распределение с плотностью f(x)=\frac1{e^x}\text{ при }x>0

Найдите E2^{-\xi}, если случайная величина \xi имеет таблицу распределения P(\xi = k) = 2^{-k}, k = 1, 2, \ldots
1/4
4/3
прав.ответ 1/3
1/2

В приборе имеются три ненадежных элемента, вероятности отказа которых равны соответственно 0,3, 0,6 и 0,5. Найдите математическое ожидание числа элементов, отказавших за время эксперимента.
2
прав.ответ 1,4
1
3
0,09

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством \xi = 1 - 2\eta. Укажите значение их коэффициента корреляции.
прав.ответ -1
1
2
0

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.
прав.ответ \rho(\xi, 2\xi) = 1
если \xi = a\eta + b п. н., то \rho(\xi, \eta) = 0
если \rho(\xi, \eta) = -1, то случайные величины \xi\text{ и }\eta независимы
если \rho(\xi, \eta) = 0, то случайные величины \xi и \eta независимы

Случайные величины \xi и \eta независимы и имеют одно и то же равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Найдите коэффициент корреляции случайных величин \xi - 2\eta\text{ и }\xi + \eta.
1/\sqrt 5
прав.ответ -1/\sqrt 10
0
1/\sqrt 10
-1/\sqrt 5

Случайные величины \xi и \eta независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Укажите значение их коэффициента корреляции.
1
прав.ответ 0
2
-1

Выберите верные утверждения.
прав.ответ
\text{если }\xi_n\to\xi\text{ п.н., то }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi
\xi_n\to\xi\text{ п.н. тогда и только тогда, когда }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi
прав.ответ
\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi,\text{ то }P(|\xi_n-\xi|\ge0,001)\to0
\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi,\text{ то }\xi_n\to\xi\text{ п.н.}

Дана последовательность случайных величин \xi_n\stackrel{P}{\to}\xi. Выберите достаточные условия для сходимости E\xi_n\to E\xi.
|\xi_n|<|\eta|\text{ для любого n, где }\eta\text{ имеет распределение Коши}
E|\xi_n|<C\text{ для любого n}
прав.ответ E\xi_n^2<C\text{ для любого n}
прав.ответ |\xi_n|<C\text{ п.н. для любого n}

Пусть случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром \lambda = 2. Вероятность P(\xi > 10) можно оценить сверху по обобщенному неравенству Чебышева с помощью функции g(x) = 2^x. Укажите значение этой оценки.
1/e2
1/210
1
прав.ответ e2/210

Пусть D\xi = 3. Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность P(|\xi - E\xi| > 3).
1/27
1
1/9
прав.ответ 1/3

Пусть E\xi^2 = 6, \;E\xi = 1. Оценивается сверху вероятность P(|\xi| > 10). Укажите значение оценки по обобщенному неравенству Чебышева с функцией g(x) = x^2\text{ при }x > 0.
прав.ответ 0, 06
1
0, 05
0, 1

Подбрасывают три правильные монеты. После n подбрасываний этих трех монет обозначим через \nu_n количество подбрасываний, при которых выпало не более одного герба. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности \nu_n/n в смысле сходимости по вероятности.
0
предела не существует
прав.ответ 1/2
1/6
1/4

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами m = 3\text{ и }p = 1/4. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n-\left(\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n\right)^2 в смысле сходимости почти наверное.
3/4
0
1/4
прав.ответ 9/16
3/16

Пусть случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром \lambda = 3. Вероятность P(\xi > 10) можно оценить сверху по обобщенному неравенству Чебышева с помощью функции g(x) = 3^x. Укажите значение этой оценки.
прав.ответ e6/310
1/e3
e3/310
1/310

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Бернулли с параметром p = 1/4. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n в смысле сходимости по вероятности.
0
прав.ответ 1/4
3/4
предела не существует или указанных условий недостаточно
1/2

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами m = 3\text{ и }p = 1/4. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n в смысле сходимости по вероятности.
прав.ответ 3/4
предела не существует или указанных условий недостаточно
0
1/2
1/4

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, \ldots со следующими распределениями: для любого n
P(\xi_n=\sqrt{n})=\frac 1n,\quad P(\xi_n=2)=\frac 1n,\quad P\left(\xi_n=1-\frac 1n\right)=1-\frac 2n. Найдите предел последовательности \xi_n в смысле сходимости по вероятности.
0
прав.ответ 1
1-\frac 1n
2
+?

Пусть \xi > 0\text{ п. н., }E\xi^2 = 6, \;E\xi = 1. Оценивается сверху вероятность P(\xi > 10). Укажите значение оценки по неравенству Маркова.
прав.ответ 0, 1
1
0, 06
0, 05

Дана последовательность случайных величин \xi_n\stackrel{P}{\to}\xi. Выберите достаточные условия для сходимости E\xi_n\to E\xi.
прав.ответ |\xi_n|<\eta\text{ для любого n, где }\eta\text{ имеет показательное распределение}
E|\xi|<C
прав.ответ E|\xi_n|^5<C\text{ для любого n}
прав.ответ |\xi_n|<1\text{ п.н. для любого n}

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с показательным распределением с параметром \alpha = 2, S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность \frac{2S_n-n}{\sqrt{n}} слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.
N_{0, 4}
I_0
N_{0, 1/4}
N_{0, 1/2}
прав.ответ
N_{0, 1}

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, ... со следующими распределениями: \xi_n\sim U_{0,1/n}. Если последовательность \xi_n слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.
последовательность не сходится по распределению
U_{0,1}
I_1
прав.ответ
I_0

Отметьте верное утверждение.
\text{если }\xi_n\Rightarrow \xi,\text{ то }P(\xi_n<0)\to P(\xi<0)
\text{если }\xi_n\Rightarrow \xi, \eta_n\Rightarrow \eta,\text{ то }\xi_n+\eta_n\Rightarrow \xi+\eta
\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi,\eta_n\Rightarrow \eta,\text{ то }\xi_n+\eta_n\Rightarrow \xi+\eta
прав.ответ
\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi,\text{ то }\xi_n\Rightarrow \xi

Выберите верные утверждения.
\text{если }\xi_n\Rightarrow \xi,\text{ то }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi
прав.ответ
\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}0,\eta_n\Rightarrow \eta,\text{ то }\xi_n\eta_n\Rightarrow 0
прав.ответ
\text{если }\eta_n\Rightarrow \eta,\text{ то }5\eta_n\Rightarrow 5\eta
\text{если }\xi_n\Rightarrow \xi\text{ и }\xi\sim B_{5, 1/2},\text{ то }P(\xi_n<1)\to P(\xi<1)

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, ... со следующими распределениями: \xi_n\sim U_{(n-1)/n,(n+1)/n}. Если последовательность \xi_n слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.
U_{0,1}
последовательность не сходится по распределению
I_0
прав.ответ
I_1

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 100.
2\Phi_{0,1}(-1) = 0,3174
2\Phi_{0,1}(-1,5) = 0,1336
2\Phi_{0,1}(-3) = 0,0027
прав.ответ
2\Phi_{0,1}(-2,5) = 0,124
2\Phi_{0,1}(-2) = 0,0456

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.
прав.ответ распределение с плотностью f(x) = 4/x^5 при x > 1
распределение с плотностью f(x) = 1/x^2 при x > 1
прав.ответ равномерное распределение на отрезке [0, 1]

Укажите характеристическую функцию среднего арифметического n независимых в совокупности и одинаково распределјнных случайных величин с характеристической функцией \varphi(t).
\varphi(nt)/n
\varphi^n(nt)
прав.ответ
\varphi^n(t/n)
n\varphi(t/n)

Случайная величина \xi принимает значения ±1 с вероятностями по 1/2. Найдите характеристическую функцию \phi_{\xi}(t).
прав.ответ
\cos t
(1 + \cos t)/2
2\cos t
\sin t

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=\exp(2e^{it}-2).
E\xi=2, D\xi=1
E\xi=3/2, D\xi=3/4
E\xi=1/2, D\xi=1/4
прав.ответ
E\xi=2, D\xi=2
E\xi=0, D\xi=2

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины 2\xi+1.
e^{2it}\varphi_{\xi}(t)
\varphi_{\xi}(2t+1)
\varphi_{\xi}((t-1)/2)
прав.ответ
e^{it}\varphi_{\xi}(2t)

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=\frac{2}{2-it}.
прав.ответ
E\xi=1/2, D\xi=1/4
E\xi=0, D\xi=2
E\xi=2, D\xi=2
E\xi=2, D\xi=1
E\xi=3/2, D\xi=3/4

Случайные величины \xi и \eta независимы. Чему равна характеристическая функция их суммы?
разности характеристических функций
прав.ответ произведению характеристических функций
сумме характеристических функций
частному характеристических функций

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=(0,5+0,5e^{it})^3.
прав.ответ
E\xi=3/2, D\xi=3/4
E\xi=0, D\xi=2
E\xi=1/2, D\xi=1/4
E\xi=2, D\xi=2
E\xi=2, D\xi=1

Укажите значение характеристической функции в точке t = 0.
прав.ответ 1
i
-i
0

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 80.
2\Phi_{0,1}(-2,5) = 0,124
прав.ответ
2\Phi_{0,1}(-2) = 0,0456
2\Phi_{0,1}(-1) = 0,3174
2\Phi_{0,1}(-1,5) = 0,1336
2\Phi_{0,1}(-3) = 0,0027

Подбрасывают четыре неразличимых шестигранных игральных кости и записывают наборы выпадающих очков. Сколько различных наборов можно таким образом записать?
C_{24}^4
C_6^4
прав.ответ
C_9^4
4^6
6^4

На почте есть марки трёх видов, конверты четырёх видов и открытки пяти видов. Каким числом способов можно выбрать открытку, конверт и марку к нему?
12
прав.ответ 60
3
220

Четыре раза подбрасывают шестигранную игральную кость и записывают количество выпадающих очков в порядке поступления. Сколько различных двузначных чисел можно таким образом записать?
C_{24}^4
C_9^4
4^6
C_6^4
прав.ответ
6^4

В турнире принимают участие 6 шахматистов. Сколькими способами можно их разбить на две группы по три шахматиста?
120
6
прав.ответ 20
64
8

Сколькими способами можно выбрать спорторга, культорга и председателя редколлегии, если всего в классе 20 школьников?
3
20!
прав.ответ
A_{20}^3
C_{20}^3
20^5

Брошены три монеты. Рассматриваются события A — на первой монете выпал герб, B — на второй монете выпал герб, C — выпал хотя бы один герб. Выберите все верные высказывания.
прав.ответ
A\cap B\subseteq C
A\text{ и }B\text{ несовместны }
прав.ответ
A\text{ влечет }C
A\cup B=C

Выберите все верные высказывания.
невозможное событие совместно с самим собой
прав.ответ пересечение любого числа попарно несовместных событий невозможно
несовместные события противоположны
прав.ответ противоположные события несовместны
прав.ответ невозможное событие несовместно с любым другим

Вероятность получить "отлично" по математике равна 1/4, по физике — тоже 1/4, а сразу по двум предметам — 1/8. Какова вероятность получить "отлично" хотя бы по одному предмету?
7/8
1/16
1/2
прав.ответ 3/8

Из коробки, в которой лежали 5 красных и 2 синих карандаша, потерялись 4 карандаша. Какова вероятность того, что потерялись только красные карандаши, если любой карандаш имел равные шансы быть потерянным?
2/7
прав.ответ 1/7
5/7
4/5

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется король пик?
1/36
прав.ответ 1/6
1/4
1/9

Из букв слова МОЛОКО, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово МОЛ?
1/60
прав.ответ 1/40
1/120
1/20

На отрезке [0, 1] наудачу выбираются две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется больше, чем 0, 1?
0, 1
0, 01
0, 09
прав.ответ 0, 81

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны два юноши и одна девушка?
1/3
прав.ответ 4/7
2/7
1/7

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны один юноша и две девушки?
прав.ответ 1/7
4/7
2/7
1/3

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают две карты. Какова вероятность того, что они обе окажутся картами масти пик?
прав.ответ 2/35
1/18
1/16
1/4

Точка с координатой \xi наудачу бросается на отрезок [0, 1]. Выберите верные высказывания.
\text{событие }\{\xi=0,5\}\text{ невозможно}
прав.ответ
P(\xi=0,5)=P(\xi=0,9)
прав.ответ
P(\xi=0,5)=0
P(\xi=0,5)=0,5

Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, берут 2 шара наугад. Порядок появления шаров учитывается. Каково общее число равновозможных элементарных исходов?
6
прав.ответ 4
5
3

После бури на участке между 40-м и 65-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?
0,25
прав.ответ 0,2
0,75
0,5

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно один король?
1-\frac{C_{32}^6}{C_{36}^6}
1\cdot\frac{C_{32}^5}{C_{36}^6}
прав.ответ
4\cdot\frac{C_{32}^5}{C_{36}^6}
4\cdot\frac{C_{35}^5}{C_{36}^6}

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один король?
4\cdot\frac{C_{32}^5}{C_{36}^6}
4\cdot\frac{C_{35}^5}{C_{36}^6}
прав.ответ
1-\frac{C_{32}^6}{C_{36}^6}
1\cdot\frac{C_{32}^5}{C_{36}^6}

Пусть A и B — произвольные события, причем A влечет B. Выберите верное высказывание:
P(A)\ge P(B)
прав.ответ
P(A)\le P(B)
P(A)=1-P(B)
P(A)=2P(B)

Пусть \lambda(A) обозначает меру Лебега борелевского множества A. Укажите значение \lim\limits_{n\to\infty}\lambda(B_n),\text{ если }B_n=(1-1/n,1+2/n).
прав.ответ 0
2
1
3

Фирма A в течение года разоряется с вероятностью 0,3, фирма Б — с вероятностью 0,4, а обе фирмы — с вероятностью 0,25. Какова вероятность того, что в течение года разорится хотя бы одна фирма?
прав.ответ 0,45
0,7
0,12
0,5

Подбрасывают две игральных кости. Укажите такие события A и B, для которых P(A\setminus B)=P(A)-P(B).
прав.ответ A = \text{\{ сумма выпавших очков равна 2 \},}\;B = \text{\{ на 1-й кости выпало 1 очко \}}
A = \text{\{ сумма выпавших очков равна 4 \},}\;B = \text{\{ на 1-й кости выпало 5 очков \}}
прав.ответ A = \text{\{ на 1-й кости выпало 4 очка \},}\;B = \text{\{ сумма выпавших очков превышает 3 \}}
A = \text{\{ на 1-й кости выпало четное число очков \},}\;B = \text{\{ на 1-й кости выпало 4 очка \}}

Выберите свойства, верные для любых несовместных событий A и B.
P(A\cup B)=1
прав.ответ
P(A\cup B)=P(A)+P(B)
P(A)+P(B)=1

Пусть \Omega=\mathbb{R}. Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств \Omega?
множество натуральных чисел
множество всех одноточечных подмножеств множества \;\mathbb{R}
прав.ответ множество всех подмножеств множества \;\mathbb{R}
множество всех интервалов (a, b),\text{ где }a,b\in\mathbb{R}

Пусть \Omega — произвольное непустое множество. Укажите верные высказывания.
прав.ответ 2^\Omega является алгеброй
прав.ответ существуют алгебры, не являющиеся \sigma-алгебрами
существуют \sigma- алгебры, не являющиеся алгебрами
\sigma-алгебра всегда содержит бесконечное число множеств

Даны события A, B, C такие, что P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4, P(ABC)=0. Укажите значение P(A\cup B\cup C).
3/2
прав.ответ 3/4
1
7/8

Чему равна вероятность P(A\cup B) для произвольных событий A и B?
P(A)+P(B)
прав.ответ
P(A)+P(B)-P(A\cap B)
P(A)\cdot P(B)
P(A)+P(B)-P(A\cup B)

Даны события A, B, C такие, что P(A)=P(B)=P(C)=1/2,\;P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4,\;P(ABC)=1/8. Укажите значение P(A\cup B\cup C).
3/2
3/4
1
прав.ответ 7/8

Пусть \Omega\{1,2,3,4,5\},\;F-\text{ минимальная }\sigma-\text{алгебра,} содержащая множества {1, 2} и {5}. Укажите множества, принадлежащие F.
прав.ответ
\{3,4,5\}
\{1,2,3\}
прав.ответ
\Omega
прав.ответ
\{3,4\}

Пусть \Omega=\mathbb{R},\; F=2^\Omega. Выберите функции, которые являются вероятностными мерами.
\mu(A)=1\;\text{для любых}\; A\subseteq\mathbb{R}
прав.ответ
\mu(A)=\left\{ {1,\quad\text{если}\;17\in A} \atop {0,\quad\text{если}\;17\notin A}
прав.ответ
\mu(A)=|A|\;\text{для любых конечных множеств}\;A\subseteq\mathbb{R}\;\text{и}\;\mu(A)=+\infty,\text{ если А бесконечно }
прав.ответ
\mu(A)=0\;\text{для любых}\; A\subseteq\mathbb{R}

В урне 1 белый шар и 2 черных. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше достанет белый шар. Какова вероятность того, что выиграет 1-й игрок?
1/3
1/4
прав.ответ 2/3
1/2

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 5, P(B) = 0, 5. Укажите верные высказывания.
события A и B несовместны
P(A ? B) = 1
P(A ? B) = 0
прав.ответ P(A|B) = 0, 5

Выберите верные утверждения.
несовместные события независимы
прав.ответ невозможное событие независимо с любым другим
несовместные события зависимы
прав.ответ несовместные события не пересекаются

Один раз бросают симметричную игральную кость. Событие A — выпало 3 очка, событие B — выпало нечетное число очков. Найдите P(A|B).
прав.ответ 1/3
1
1/2
1/6

На фабрике половина продукции производится первой машиной, половина — второй. В продукции первой машины брак составляет 10%, в продукции второй — 30%. Наугад выбранная из всей продукции деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первой машиной?
прав.ответ 0, 25
0, 35
0, 5
0, 6

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимают шары по одному до тех пор, пока не появится белый шар. Какова вероятность того, что из урны будет вынуто 3 черных шара?
прав.ответ 1/10
2/3
3/5
3/16

Половина стрелков попадает в цель в 60% случаев, половина — в 80% случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел. Определите вероятность попадания в цель.
1, 4
0, 5
0, 3
прав.ответ 0, 7


Яндекс.Метрика