Ответы на курс: Введение в теорию вероятностей

Пусть $\Omega\{1,2,3,4,5\},\;F-\text{ минимальная }\sigma-\text{алгебра,}$ содержащая множества и . Укажите множества, принадлежащие .

	$\{1,2,3,4\}$
	$\varnothing$
	$\{1,2,5\}$
	$\{3,5\}$

Прибор состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,01. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что не откажет ни один элемент.

	0,184
	0,271
	0,002
	0,368

Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно одна деталь будет бракованной.

	0,271
	0,184
	0,002
	0,368

Симметричную игральную кость подбрасывают 6 раз. Какова вероятность при этом выбросить каждую грань по разу?

	5⁶/6⁶
	1/6⁵
	1/6⁶
	6!/6⁶

Какая формула вычисляет вероятность получить ровно семь попаданий при восьми выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

	7 · 0,9⁷ · 0,1
	8 · 0,9⁷ · 0,1
	1 - 0,9⁸
	0,9⁷ · 0,1

Стрелок, попадающий в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1, ведет стрельбу до первого попадания. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что потребуется не менее трех патронов?

	0,243
	0,81
	0,1
	0,081

Из урны, содержащей 10 одинаковых на ощупь шаров, среди которых один черный, наугад вынимали по одному шару 12 раз, всякий раз возвращая вынутый шар обратно и перемешивая шары в урне. Все 12 раз был вынут черный шар. С какой вероятностью следующий наудачу вынутый шар снова окажется черным?

	(0, 1)¹³
	0, 1
	13 · (0, 1)¹³
	(0, 1)¹²

Какая из формул вычисляет вероятность при шести подбрасываниях симметричной игральной кости ровно один раз выбросить шесть очков?

	(5/6)⁶
	1 - (1/6)⁷
	(5/6)⁵
	1

Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока на кости впервые не выпадет четное число очков. Какова вероятность того, что придется бросить кость пять раз?

	5/32
	1/32
	5/6
	1/16

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске выпадет шесть очков?

	1
	1/6
	(5/6)²⁹ · (1/6)
	5 · (5/6)³⁰

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске снова не выпадет шесть очков?

	$(5/6)^{30}$
	$\frac{(5/6)^{29}}{(5/6)^{30}}$

	$30\cdot (5/6)^{30}$

Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет герб?

	15/2¹⁵
	15!/2¹⁵
	1/2
	1/2¹⁵

Пусть случайная величина $\xi$ принимает только значения с одинаковой вероятностью . Найдите $P(\xi \le 0)$ .

	0,5
	1
	1/6
	0

Выберите верное утверждение:

	если $P(\xi<x)=P(\eta<x)\quad\text{для любого}\;x\in\mathbb R$ , то распределения случайных величин $\xi$ и $\eta$ совпадают
	$P(a\le\xi\le b)=F_\xi(a)-F_\xi(b)$
	сингулярное распределение может быть сосредоточено на множестве рациональных чисел
	плотность абсолютно непрерывного распределения в любой точке равна производной от функции распределения

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано функцией распределения:

$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ x/2, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.$ Выберите верные утверждения.

	$P(0,1 < \xi < 0,5) = 0, 2$
	$\text{распределение случайной величины }\xi\text{ дискретно}$
	$P(\xi = 1) = 0$
	$\text{распределение случайной величины }\xi\text{ абсолютно непрерывно }$
	$P(\xi \ge 1) = 0, 5$

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано плотностью распределения:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c(1-x), & \text{если}\;0\le x\le1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.$ Выберите верные утверждения.

	$P(\xi \le 0,5) = 0,75$

	$P(\xi = 0,5) = 1$
	$P(\xi \ge 0,5) = 0,5$

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано функцией распределения:

$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ 0,25, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.$ Выберите верные утверждения.

	$P(\xi = 1) = 0,75$
	$\text{распределение случайной величины }\xi\text{ дискретно}$
	$P(0,1 < \xi < 0,5) = 0, 25$
	$\text{распределение случайной величины }\xi\text{ абсолютно непрерывно}$
	$P(\xi = 0,5) = 0,25$

Пусть $\Omega=\{a,b,c\},\;F=\{\Omega,\varnothing, \{a\},\{b,c\} \}$ . Какие из следующих функций являются случайными величинами?

	$\xi(a)=0,\;\xi(b)=1,\;\xi(c)=1$
	$\xi(a)=0,\;\xi(b)=1,\;\xi(c)=2$
	$\xi(a)=\xi(b)=\xi(c)=-5$
	$\xi(\Omega)=0,\; \xi(\varnothing)=1,\;\xi(\{a\})=2,\;\xi(\{b, c\})=3$

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

	$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & \text{если}\;0\le x\le\pi/2,\\ 0 & \text{иначе} \end{array}\raght.$
	$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x, & \text{если}\;0\le x\le 1,\\ 0, & \text{иначе}\end{array}\raght.$
	$f(x)=0,2\quad\text{для любого}\;x\in\mathbb{R}$
	$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2, & \text{если}\;x\in[0;1],\\ -1, & \text{если}\;x\in(1;2],\\ 0, & \text{иначе} \end{array}\raght.$

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано плотностью распределения:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}cx, & \text{если}\;0\le x\le1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.$ Выберите верные утверждения.


	$P(\xi = 0,5) = 0$
	$P(\xi \le 0,5) = 0,5$
	$P(\xi \ge 0,5) = 0,75$

Выберите распределения, для которых вероятность $P(0 \le \xi \le 4)$ является наибольшей среди перечисленных.

	$B_{5, 1/2}$
	$N_{2, 1/9}$
	$U_{0, 4}$
	$N_{6, 1}$

Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока впервые не выпадет шесть очков. Какое распределение имеет число выполненных бросаний кости?

	биномиальное с параметрами 6 и 1/6
	равномерное на отрезке от 0 до 6
	распределение Пуассона с параметром 6
	геометрическое с параметром 1/6

Выберите верные утверждения.

	$\Phi_{0, 1}(0) = 0$
	$\Phi_{0, 1}(-x) = \Phi_{0, 1}(x)$
	$\Phi_{0, 1}(-1) = 0$
	$\Phi_{0, 1}(x) = 1 - \Phi_{0, 1}(-x)$

Случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром 2. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

	$P(\xi > \ln 2) < P(\xi = 5) < P(\xi < \ln 2)$
	$P(\xi < \ln 2) < P(\xi = 5) < P(\xi > \ln 2)$
	$P(\xi < \ln 2) < P(\xi > \ln 2) < P(\xi = 5)$
	$P(\xi = 5) < P(\xi > \ln 2) < P(\xi < \ln 2)$

Выберите распределения, для которых вероятность $P(-3 \le \xi \le 3)$ является наибольшей среди перечисленных.

	$N_{0, 1}$
	$B_{5, 1/2}$
	$U_{-5, 5}$
	$N_{3, 1}$

Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с плотностью распределения $f(x)=\frac1{\sqrt{18\pi}}e^{-\frac1{18}(x+1)^2}$ . Пусть $\Phi_{0,1}(x)$ — функция распределения стандартного нормального распределения. Чему равно значение вероятности $P(-1 < \xi < 5)$ ?

	$\Phi_{0,1}(2/3) - \Phi_{0,1}(0)$
	$\Phi_{0,1}(16) - \Phi_{0,1}(-2)$
	$\Phi_{0,1}(5) - \Phi_{0,1}(-1)$
	$\Phi_{0,1}(2) - \Phi_{0,1}(0)$

Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают сразу три шара. Случайная величина $\xi$ равна числу черных шаров среди выбранных. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

	$P(\xi = 3) < P(\xi = 2) < P(\xi = 1)$
	$P(\xi = 1) < P(\xi = 2) < P(\xi = 3)$
	$P(\xi = 1) < P(\xi = 3) < P(\xi = 2)$
	$P(\xi = 3) < P(\xi = 1) < P(\xi = 2)$

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина $\xi$ равна сумме выпавших очков, случайная величина $\eta$ равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события ${\xi = 6; \eta = 0}$ .

	5/36
	1/18
	1/36
	1/12
	125/1296

Выберите свойства, которыми обладает любая функция совместного распределения.

	зная частные распределения, можно найти функцию совместного распределения
	функция совместного распределения не убывает по каждой переменной
	зная функцию совместного распределения, можно найти частные функции распределения
	функция совместного распределения непрерывна по каждой переменной

Укажите высказывания, которые справедливы для любых случайных величин $\xi$ и $\eta$ с дискретными распределениями.

	$\text{если }\xi \equiv \eta,\text{ то }\xi\text{ и }\eta\text{ зависимы.}$
	$\text{если }P(\xi = 2, \eta = 3) \ne P(\xi = 2)P(\eta = 3),\text{ то случайные величины }\xi\text{ и }\eta\text{ зависимы}$
	$\text{если }P(\xi = 2, \eta = 3) = P(\xi = 2)P(\eta = 3),\text{ то случайные величины }\xi\text{ и }\eta\text{ независимы}$
	$\text{если }P(\xi < 2, \eta < 3) = P(\xi < 2)P(\eta < 3),\text{ то случайные величины }\xi\text{ и }\eta\text{ независимы}$

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина $\xi$ равна сумме выпавших очков, случайная величина $\eta$ равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события $\{{\xi = 3; \eta = 1}\}$ .

	1/12
	1/36
	1/18
	5/324
	5/36

Пусть случайный вектор $(\xi, \eta)$ имеет абсолютно непрерывное распределение с постоянной плотностью во всех точках ромба $|x|+|y| \le 1$ . Вне ромба плотность нулевая. Каково значение плотности внутри ромба?

	1/?
	1/2
	1
	1/2?

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина $\xi$ равна сумме выпавших очков, случайная величина $\eta$ равна числу выпавших двоек. Укажите вероятность события ${\xi = 5; \eta = 1}$ .

	5/162
	5/36
	1/12
	1/36
	1/18

Пусть $\xi\sim E_2,\;\eta=2\xi-5$ . Укажите значение плотности распределения случайной величины $\eta$ в точке .

	$0, 5(1 - e^{-8})$
	$4e^{-6} - 5$
	$4e^{-32}$
	$e^{-8}$

Пусть $\xi\sim G_{1/2},\;\eta=4\xi$ . Укажите значение вероятности $P(\eta = 8)$ .

	1/4
	1/32
	1/6
	1/8

Случайная величина $\xi$ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Пусть $\eta = 2\xi+1$ . Какова плотность распределения случайной величины $\eta$ ?

Пусть $\xi\sim N_{0,1},\;\eta=-2\xi+1$ . Укажите распределение случайной величины $\eta$ .

	$N_{0, 1}$
	$N_{1, 4}$
	$N_{1,-4}$
	$N_{-1, 4}$

Даны пять независимых в совокупности случайных величин $\xi_1, \ldots , \xi_5$ с одним и тем же распределением Бернулли с параметром 1/2. Найдите $P(\xi_1+\ldots+\xi_5 = 3)$ .

	1/8
	5/16
	1/32
	0

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин $\xi\sim B_{1,1/3}\;\text{и}\;\eta\sim B_{5,1/3}$ .

	$B_{6, 2/3}$
	$N_{6, 2/3}$
	$\Pi_6$
	$B_{6, 1/3}$

К случайной величине, имеющей абсолютно непрерывное распределение, прибавили 5. Выберите верные высказывания.

	тогда график ее плотности сдвинется вправо на 5
	тогда график ее плотности сдвинется влево на 5
	тогда график ее функции распределения сдвинется влево на 5
	тогда график ее функции распределения сдвинется вправо на 5

Пусть $\xi\sim U_{0,1}\;\eta=3\xi+2$ . Укажите значение плотности распределения случайной величины $\eta$ в точке .

	1/3
	0
	1
	5

Укажите распределение разности двух независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами $a = 1, \sigma^2 = 1$ .

	$N_{0, 2}$
	$N_{0, 0}$

	$N_{0, 1}$

Пусть $\xi\sim U_{0,1}$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение .

	$-0,5 \ln(1 - \xi)$
	$\ln \xi$
	$2e_{-2\xi}$
	$1 - e_{-2\xi}$

Найдите $Ee^{\xi}$ , если случайная величина $\xi$ имеет распределение с плотностью

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3\cdot e^{-3x}, & x>0,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.$

	e^1/3
	1/3
	3/2
	1

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) B_{4, 3/4}; (2) \Pi_2; (3) E_2; (4) G_{1/5}$ .

	1,2,4,3
	3,2,1,4
	3,1,4,2
	4,3,1,2
	2,3,1,4

Считая, что $\xi \ge 0$ п. н. и указанные математические ожидания существуют, выберите верные неравенства.

	$\sqrt[5]{E\xi^5}\le\sqrt[4]{E\xi^4}$
	$E\left(\frac1\xi\right)\le\frac1{E\xi}$
	$E\xi^2\ge(E\xi)^2$
	$E2^\xi\ge2^{E\xi}$

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

	распределение, плотность которого равна нулю вне некоторого отрезка [a, b]
	распределение с функцией распределения $F(x)=1-\frac 1{x^2}\text{ при }x>1$
	распределение с функцией распределения $F(x)=1-\frac 1{\sqrt x}\text{ при }x>1$
	распределение $P(\xi=3^k)=\frac2{3^k},\;k=1,2,\ldots$

Выберите верные утверждения.

	математическое ожидание всегда неотрицательно
	$E\xi$ существует тогда и только тогда, когда $E\|\xi\| < \infty$
	если существует математическое ожидание случайной величины, то существует и дисперсия
	если случайная величина может принимать сколь угодно большие значения, то ее математическое ожидание не существует

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.

	распределение $P(\xi=k^2)=\frac1{2^k},\;k=1,2,\ldots$
	распределение с плотностью $f(x)=\frac4{x^5}\text{ при }x>1$
	распределение с плотностью $f(x)=\frac1{2x^2}\text{ при }\|x\|>1$
	распределение с плотностью $f(x)=\frac1{e^x}\text{ при }x>0$

Найдите $E2^{-\xi}$ , если случайная величина $\xi$ имеет таблицу распределения $P(\xi = k) = 2^{-k}, k = 1, 2, \ldots$

	1/4
	4/3
	1/3
	1/2

В приборе имеются три ненадежных элемента, вероятности отказа которых равны соответственно 0,3, 0,6 и 0,5. Найдите математическое ожидание числа элементов, отказавших за время эксперимента.

	2
	1,4
	1
	3
	0,09

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством $\xi = 1 - 2\eta$ . Укажите значение их коэффициента корреляции.

	-1
	1
	2
	0

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

	$\rho(\xi, 2\xi) = 1$
	если $\xi = a\eta + b$ п. н., то $\rho(\xi, \eta) = 0$
	если $\rho(\xi, \eta) = -1$ , то случайные величины $\xi\text{ и }\eta$ независимы
	если $\rho(\xi, \eta) = 0$ , то случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одно и то же равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Найдите коэффициент корреляции случайных величин $\xi - 2\eta\text{ и }\xi + \eta$ .

	$1/\sqrt 5$
	$-1/\sqrt 10$
	0
	$1/\sqrt 10$
	$-1/\sqrt 5$

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Укажите значение их коэффициента корреляции.

	1
	0
	2
	-1

Выберите верные утверждения.

	$\text{если }\xi_n\to\xi\text{ п.н., то }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi$
	$\xi_n\to\xi\text{ п.н. тогда и только тогда, когда }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi$
	$\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi,\text{ то }P(\|\xi_n-\xi\|\ge0,001)\to0$
	$\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi,\text{ то }\xi_n\to\xi\text{ п.н.}$

Дана последовательность случайных величин $\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi$ . Выберите достаточные условия для сходимости $E\xi_n\to E\xi$ .

	$\|\xi_n\|<\|\eta\|\text{ для любого n, где }\eta\text{ имеет распределение Коши}$
	$E\|\xi_n\|<C\text{ для любого n}$
	$E\xi_n^2<C\text{ для любого n}$
	$\|\xi_n\|<C\text{ п.н. для любого n}$

Пусть случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda = 2$ . Вероятность $P(\xi > 10)$ можно оценить сверху по обобщенному неравенству Чебышева с помощью функции . Укажите значение этой оценки.

	1/e²
	1/2¹⁰
	1
	e²/2¹⁰

Пусть $D\xi = 3$ . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность $P(|\xi - E\xi| > 3)$ .

	1/27
	1
	1/9
	1/3

Пусть $E\xi^2 = 6, \;E\xi = 1$ . Оценивается сверху вероятность $P(|\xi| > 10)$ . Укажите значение оценки по обобщенному неравенству Чебышева с функцией $g(x) = x^2\text{ при }x > 0$ .

	0, 06
	1
	0, 05
	0, 1

Подбрасывают три правильные монеты. После подбрасываний этих трех монет обозначим через $\nu_n$ количество подбрасываний, при которых выпало не более одного герба. Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности $\nu_n/n$ в смысле сходимости по вероятности.

	0
	предела не существует
	1/2
	1/6
	1/4

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами $m = 3\text{ и }p = 1/4$ . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n-\left(\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n\right)^2$ в смысле сходимости почти наверное.

	3/4
	0
	1/4
	9/16
	3/16

Пусть случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda = 3$ . Вероятность $P(\xi > 10)$ можно оценить сверху по обобщенному неравенству Чебышева с помощью функции . Укажите значение этой оценки.

	e⁶/3¹⁰
	1/e³
	e³/3¹⁰
	1/3¹⁰

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Бернулли с параметром . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n$ в смысле сходимости по вероятности.

	0
	1/4
	3/4
	предела не существует или указанных условий недостаточно
	1/2

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами $m = 3\text{ и }p = 1/4$ . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n$ в смысле сходимости по вероятности.

	3/4
	предела не существует или указанных условий недостаточно
	0
	1/2
	1/4

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots$ со следующими распределениями: для любого

$P(\xi_n=\sqrt{n})=\frac 1n,\quad P(\xi_n=2)=\frac 1n,\quad P\left(\xi_n=1-\frac 1n\right)=1-\frac 2n.$ Найдите предел последовательности $\xi_n$ в смысле сходимости по вероятности.

	0
	1
	$1-\frac 1n$
	2
	+?

Пусть $\xi > 0\text{ п. н., }E\xi^2 = 6, \;E\xi = 1$ . Оценивается сверху вероятность $P(\xi > 10)$ . Укажите значение оценки по неравенству Маркова.

	0, 1
	1
	0, 06
	0, 05

Дана последовательность случайных величин $\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi$ . Выберите достаточные условия для сходимости $E\xi_n\to E\xi$ .

	$\|\xi_n\|<\eta\text{ для любого n, где }\eta\text{ имеет показательное распределение}$
	$E\|\xi\|<C$
	$E\|\xi_n\|^5<C\text{ для любого n}$
	$\|\xi_n\|<1\text{ п.н. для любого n}$

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с показательным распределением с параметром $\alpha = 2$ , - сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность $\frac{2S_n-n}{\sqrt{n}}$ слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

	$N_{0, 4}$

	$N_{0, 1/4}$
	$N_{0, 1/2}$
	$N_{0, 1}$

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, ...$ со следующими распределениями: $\xi_n\sim U_{0,1/n}$ . Если последовательность $\xi_n$ слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

	последовательность не сходится по распределению
	$U_{0,1}$

Отметьте верное утверждение.

	$\text{если }\xi_n\Rightarrow \xi,\text{ то }P(\xi_n<0)\to P(\xi<0)$
	$\text{если }\xi_n\Rightarrow \xi, \eta_n\Rightarrow \eta,\text{ то }\xi_n+\eta_n\Rightarrow \xi+\eta$
	$\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi,\eta_n\Rightarrow \eta,\text{ то }\xi_n+\eta_n\Rightarrow \xi+\eta$
	$\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi,\text{ то }\xi_n\Rightarrow \xi$

Выберите верные утверждения.

	$\text{если }\xi_n\Rightarrow \xi,\text{ то }\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi$
	$\text{если }\xi_n\stackrel{P}{\to}0,\eta_n\Rightarrow \eta,\text{ то }\xi_n\eta_n\Rightarrow 0$
	$\text{если }\eta_n\Rightarrow \eta,\text{ то }5\eta_n\Rightarrow 5\eta$
	$\text{если }\xi_n\Rightarrow \xi\text{ и }\xi\sim B_{5, 1/2},\text{ то }P(\xi_n<1)\to P(\xi<1)$

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, ...$ со следующими распределениями: $\xi_n\sim U_{(n-1)/n,(n+1)/n}$ . Если последовательность $\xi_n$ слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

	$U_{0,1}$
	последовательность не сходится по распределению

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 100.

	$2\Phi_{0,1}(-1) = 0,3174$
	$2\Phi_{0,1}(-1,5) = 0,1336$
	$2\Phi_{0,1}(-3) = 0,0027$
	$2\Phi_{0,1}(-2,5) = 0,124$
	$2\Phi_{0,1}(-2) = 0,0456$

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

	распределение с плотностью при
	распределение с плотностью при
	равномерное распределение на отрезке [0, 1]

Укажите характеристическую функцию среднего арифметического независимых в совокупности и одинаково распределјнных случайных величин с характеристической функцией $\varphi(t)$ .

	$\varphi(nt)/n$
	$\varphi^n(nt)$
	$\varphi^n(t/n)$
	$n\varphi(t/n)$

Случайная величина $\xi$ принимает значения ±1 с вероятностями по 1/2. Найдите характеристическую функцию $\phi_{\xi}(t)$ .

	$\cos t$
	$(1 + \cos t)/2$
	$2\cos t$
	$\sin t$

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=\exp(2e^{it}-2)$ .

	$E\xi=2, D\xi=1$
	$E\xi=3/2, D\xi=3/4$
	$E\xi=1/2, D\xi=1/4$
	$E\xi=2, D\xi=2$
	$E\xi=0, D\xi=2$

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины $2\xi+1$ .

	$e^{2it}\varphi_{\xi}(t)$
	$\varphi_{\xi}(2t+1)$
	$\varphi_{\xi}((t-1)/2)$
	$e^{it}\varphi_{\xi}(2t)$

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=\frac{2}{2-it}$ .

	$E\xi=1/2, D\xi=1/4$
	$E\xi=0, D\xi=2$
	$E\xi=2, D\xi=2$
	$E\xi=2, D\xi=1$
	$E\xi=3/2, D\xi=3/4$

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы. Чему равна характеристическая функция их суммы?

	разности характеристических функций
	произведению характеристических функций
	сумме характеристических функций
	частному характеристических функций

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=(0,5+0,5e^{it})^3$ .

	$E\xi=3/2, D\xi=3/4$
	$E\xi=0, D\xi=2$
	$E\xi=1/2, D\xi=1/4$
	$E\xi=2, D\xi=2$
	$E\xi=2, D\xi=1$

Укажите значение характеристической функции в точке .

	1


	0

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 80.

	$2\Phi_{0,1}(-2,5) = 0,124$
	$2\Phi_{0,1}(-2) = 0,0456$
	$2\Phi_{0,1}(-1) = 0,3174$
	$2\Phi_{0,1}(-1,5) = 0,1336$
	$2\Phi_{0,1}(-3) = 0,0027$

Подбрасывают четыре неразличимых шестигранных игральных кости и записывают наборы выпадающих очков. Сколько различных наборов можно таким образом записать?

	$C_{24}^4$

На почте есть марки трёх видов, конверты четырёх видов и открытки пяти видов. Каким числом способов можно выбрать открытку, конверт и марку к нему?

	12
	60
	3
	220

Четыре раза подбрасывают шестигранную игральную кость и записывают количество выпадающих очков в порядке поступления. Сколько различных двузначных чисел можно таким образом записать?

	$C_{24}^4$

В турнире принимают участие 6 шахматистов. Сколькими способами можно их разбить на две группы по три шахматиста?

	120
	6
	20
	64
	8

Сколькими способами можно выбрать спорторга, культорга и председателя редколлегии, если всего в классе 20 школьников?

	3

	$A_{20}^3$
	$C_{20}^3$

Брошены три монеты. Рассматриваются события — на первой монете выпал герб, — на второй монете выпал герб, — выпал хотя бы один герб. Выберите все верные высказывания.

	$A\cap B\subseteq C$
	$A\text{ и }B\text{ несовместны }$
	$A\text{ влечет }C$
	$A\cup B=C$

Выберите все верные высказывания.

	невозможное событие совместно с самим собой
	пересечение любого числа попарно несовместных событий невозможно
	несовместные события противоположны
	противоположные события несовместны
	невозможное событие несовместно с любым другим

Вероятность получить "отлично" по математике равна 1/4, по физике — тоже 1/4, а сразу по двум предметам — 1/8. Какова вероятность получить "отлично" хотя бы по одному предмету?

	7/8
	1/16
	1/2
	3/8

Из коробки, в которой лежали 5 красных и 2 синих карандаша, потерялись 4 карандаша. Какова вероятность того, что потерялись только красные карандаши, если любой карандаш имел равные шансы быть потерянным?

	2/7
	1/7
	5/7
	4/5

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется король пик?

	1/36
	1/6
	1/4
	1/9

Из букв слова МОЛОКО, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово МОЛ?

	1/60
	1/40
	1/120
	1/20

На отрезке [0, 1] наудачу выбираются две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется больше, чем 0, 1?

	0, 1
	0, 01
	0, 09
	0, 81

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны два юноши и одна девушка?

	1/3
	4/7
	2/7
	1/7

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны один юноша и две девушки?

	1/7
	4/7
	2/7
	1/3

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают две карты. Какова вероятность того, что они обе окажутся картами масти пик?

	2/35
	1/18
	1/16
	1/4

Точка с координатой $\xi$ наудачу бросается на отрезок . Выберите верные высказывания.

	$\text{событие }\{\xi=0,5\}\text{ невозможно}$
	$P(\xi=0,5)=P(\xi=0,9)$
	$P(\xi=0,5)=0$
	$P(\xi=0,5)=0,5$

Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, берут 2 шара наугад. Порядок появления шаров учитывается. Каково общее число равновозможных элементарных исходов?

	6
	4
	5
	3

После бури на участке между 40-м и 65-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

	0,25
	0,2
	0,75
	0,5

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно один король?

	$1-\frac{C_{32}^6}{C_{36}^6}$
	$1\cdot\frac{C_{32}^5}{C_{36}^6}$
	$4\cdot\frac{C_{32}^5}{C_{36}^6}$
	$4\cdot\frac{C_{35}^5}{C_{36}^6}$

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один король?

	$4\cdot\frac{C_{32}^5}{C_{36}^6}$
	$4\cdot\frac{C_{35}^5}{C_{36}^6}$
	$1-\frac{C_{32}^6}{C_{36}^6}$
	$1\cdot\frac{C_{32}^5}{C_{36}^6}$

Пусть и — произвольные события, причем влечет . Выберите верное высказывание:

	$P(A)\ge P(B)$
	$P(A)\le P(B)$

Пусть $\lambda(A)$ обозначает меру Лебега борелевского множества . Укажите значение $\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(B_n),\text{ если }B_n=(1-1/n,1+2/n)$ .

	0
	2
	1
	3

Фирма A в течение года разоряется с вероятностью 0,3, фирма Б — с вероятностью 0,4, а обе фирмы — с вероятностью 0,25. Какова вероятность того, что в течение года разорится хотя бы одна фирма?

	0,45
	0,7
	0,12
	0,5

Подбрасывают две игральных кости. Укажите такие события и , для которых $P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$ .

	$A = \text{\{ сумма выпавших очков равна 2 \},}\;B = \text{\{ на 1-й кости выпало 1 очко \}}$
	$A = \text{\{ сумма выпавших очков равна 4 \},}\;B = \text{\{ на 1-й кости выпало 5 очков \}}$
	$A = \text{\{ на 1-й кости выпало 4 очка \},}\;B = \text{\{ сумма выпавших очков превышает 3 \}}$
	$A = \text{\{ на 1-й кости выпало четное число очков \},}\;B = \text{\{ на 1-й кости выпало 4 очка \}}$

Выберите свойства, верные для любых несовместных событий и .

	$P(A\cup B)=1$
	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Пусть $\Omega=\mathbb{R}$ . Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств $\Omega$ ?

	множество натуральных чисел
	множество всех одноточечных подмножеств множества $\;\mathbb{R}$
	множество всех подмножеств множества $\;\mathbb{R}$
	множество всех интервалов $(a, b),\text{ где }a,b\in\mathbb{R}$

Пусть $\Omega$ — произвольное непустое множество. Укажите верные высказывания.

	$2^\Omega$ является алгеброй
	существуют алгебры, не являющиеся $\sigma$ -алгебрами
	существуют $\sigma$ - алгебры, не являющиеся алгебрами
	$\sigma$ -алгебра всегда содержит бесконечное число множеств

Даны события такие, что , , . Укажите значение $P(A\cup B\cup C)$ .

	3/2
	3/4
	1
	7/8

Чему равна вероятность $P(A\cup B)$ для произвольных событий и ?


	$P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
	$P(A)\cdot P(B)$
	$P(A)+P(B)-P(A\cup B)$

Даны события такие, что $P(A)=P(B)=P(C)=1/2,\;P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4,\;P(ABC)=1/8$ . Укажите значение $P(A\cup B\cup C)$ .

	3/2
	3/4
	1
	7/8

Пусть $\Omega\{1,2,3,4,5\},\;F-\text{ минимальная }\sigma-\text{алгебра,}$ содержащая множества и . Укажите множества, принадлежащие .

	$\{3,4,5\}$
	$\{1,2,3\}$
	$\Omega$
	$\{3,4\}$

Пусть $\Omega=\mathbb{R},\; F=2^\Omega$ . Выберите функции, которые являются вероятностными мерами.

	$\mu(A)=1\;\text{для любых}\; A\subseteq\mathbb{R}$
	$\mu(A)=\left\{ {1,\quad\text{если}\;17\in A} \atop {0,\quad\text{если}\;17\notin A}$
	$\mu(A)=\|A\|\;\text{для любых конечных множеств}\;A\subseteq\mathbb{R}\;\text{и}\;\mu(A)=+\infty,\text{ если А бесконечно }$
	$\mu(A)=0\;\text{для любых}\; A\subseteq\mathbb{R}$

В урне 1 белый шар и 2 черных. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше достанет белый шар. Какова вероятность того, что выиграет 1-й игрок?

	1/3
	1/4
	2/3
	1/2

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 5, P(B) = 0, 5. Укажите верные высказывания.

	события A и B несовместны
	P(A ? B) = 1
	P(A ? B) = 0
	P(A\|B) = 0, 5

Выберите верные утверждения.

	несовместные события независимы
	невозможное событие независимо с любым другим
	несовместные события зависимы
	несовместные события не пересекаются

Один раз бросают симметричную игральную кость. Событие A — выпало 3 очка, событие B — выпало нечетное число очков. Найдите P(A|B).

	1/3
	1
	1/2
	1/6

На фабрике половина продукции производится первой машиной, половина — второй. В продукции первой машины брак составляет 10%, в продукции второй — 30%. Наугад выбранная из всей продукции деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первой машиной?

	0, 25
	0, 35
	0, 5
	0, 6

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимают шары по одному до тех пор, пока не появится белый шар. Какова вероятность того, что из урны будет вынуто 3 черных шара?

	1/10
	2/3
	3/5
	3/16

Половина стрелков попадает в цель в 60% случаев, половина — в 80% случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел. Определите вероятность попадания в цель.

	1, 4
	0, 5
	0, 3
	0, 7