Введение в теорию вероятностей

15.10.2015 Вопросы Комментарии отключены

Ответы на курс: Введение в теорию вероятностей

Один раз бросают правильную монету. Выберите верные утверждения.

Пусть $\Omega\{1,2,3,4,5\},\;F-\text{ минимальная }\sigma-\text{алгебра,}$ содержащая множества и . Укажите множества, принадлежащие .

Прибор состоит из 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,001. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что откажет ровно 1 элемент.

Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится при третьем выстреле?

Какая формула вычисляет вероятность не получить ни одного попадания при пяти выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Прибор состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,01. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что не откажет ни один элемент.

Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,3. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится только при пятом выстреле?

Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно одна деталь будет бракованной.

Симметричную игральную кость подбрасывают 6 раз. Какова вероятность при этом выбросить каждую грань по разу?

Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,3. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится не ранее, чем при пятом выстреле?

Какая формула вычисляет вероятность получить ровно семь попаданий при восьми выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Стрелок, попадающий в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1, ведет стрельбу до первого попадания. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что потребуется не менее трех патронов?

Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно две детали будут бракованными.

Проводится испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха . Укажите, при каких значениях и можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,001.

Из урны, содержащей 10 одинаковых на ощупь шаров, среди которых один черный, наугад вынимали по одному шару 12 раз, всякий раз возвращая вынутый шар обратно и перемешивая шары в урне. Все 12 раз был вынут черный шар. С какой вероятностью следующий наудачу вынутый шар снова окажется черным?

Прибор состоит из 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,001. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что откажут ровно 2 элемента.

Какая из формул вычисляет вероятность при шести подбрасываниях симметричной игральной кости ровно один раз выбросить шесть очков?

На отрезок [0, 1] наудачу и независимо друг от друга бросают пять точек. Какова вероятность того, что две из них попадут на левую половину отрезка, еще две — на отрезок [0,5, 0,7] и одна окажется правее точки 0,7?

Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока на кости впервые не выпадет четное число очков. Какова вероятность того, что придется бросить кость пять раз?

Симметричную игральную кость подбрасывают 5 раз. Какова вероятность при этом трижды получить четное число очков и по разу — тройку и пятерку?

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске выпадет шесть очков?

Стрелок, попадающий в цель при одном выстреле с вероятностью 0,3, делает два выстрела. Результаты выстрелов независимы. Выберите верное высказывание.

Симметричную игральную кость подбрасывают 4 раза. Какова вероятность получить при этом одну тройку и две шестерки?

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске снова не выпадет шесть очков?

Какая из формул вычисляет вероятность при семи подбрасываниях симметричной игральной кости ни разу не выбросить шесть очков?

Проводится испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха . Укажите, при каких значениях и можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,005.

Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет герб?

Какая формула вычисляет вероятность получить ровно три попадания при пяти выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Монета умеет с равными вероятностями выпадать гербом, решкой и вставать на ребро. Какова вероятность того, что при семи подбрасываниях этой монеты она трижды встанет на ребро и два раза выпадет решкой?

Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет решка?

Трижды бросают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигмаалгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины $\xi$ , заданной равенством:

$\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}2\omega, & \text{если}\;\omega<0,5\\ 3\omega, & \text{если}\;\omega\ge 0,5.\end{arrey}\right.$

Пусть случайная величина $\xi$ принимает только значения с одинаковой вероятностью . Найдите $P(\xi \le 0)$ .

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано таблицей распределения:

a_i	-1	0	1	2
P( $\xi$ = a_i)	1/3	p	1/3	p

Выберите верное утверждение.

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигма алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины $\xi$ , заданной равенством:

$\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}7, & \text{если}\;\omega=0,5\\ \omega, & \text{если}\;\omega\ne 0,5.\end{arrey}\right.$

Выберите верное утверждение:

Пусть случайная величина $\xi$ принимает только значения с одинаковой вероятностью . Найдите .

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

Пусть случайная величина $\xi$ принимает только значения с одинаковой вероятностью . Найдите $P(0<\xi<3)$ .

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигмаалгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины $\xi$ , заданной равенством:

$\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}7, & \text{если}\;\omega<0,5\\ 8, & \text{если}\;\omega\ge 0,5.\end{arrey}\right.$

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигмаалгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины $\xi$ , заданной равенством:

$\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}-7, & \text{если}\;\omega<0,5\\ 8, & \text{если}\;\omega\ge 0,5.\end{arrey}\right.$

Пусть случайная величина $\xi$ принимает только значения с одинаковой вероятностью . Найдите $P(1 \le \xi \le 3)$ .

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигмаалгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины $\xi$ , заданной равенством:

$\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}7, & \text{если}\;\omega\;\text{иррационально}\\ \omega, & \text{если}\;\omega\;\text{рационально}\end{arrey}\right.$

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано таблицей распределения:

a_i	-3	-2	1	3
P(? = a_i)	0, 2	0, 3	p	0, 1

Выберите верные утверждения.

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

Выберите верные утверждения.

Пусть случайная величина $\xi$ принимает только значения с одинаковой вероятностью . Найдите .

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано функцией распределения:

$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ x/2, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.»></div> <p> Выберите верные утверждения.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано плотностью распределения:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c, & \text{если}\;0\le x\le10,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.$

Выберите верные утверждения.

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано плотностью распределения:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c(1-x), & \text{если}\;0\le x\le1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.$

Выберите верные утверждения.

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано функцией распределения:

$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ 0,25, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.»></div> <p> Выберите верные утверждения.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть $\Omega=\{a,b,c\},\;F=\{\Omega,\varnothing, \{a\},\{b,c\} \}$ . Какие из следующих функций являются случайными величинами?

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано плотностью распределения:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c/x^2, & \text{если}\;x\ge 1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.$

Выберите верные утверждения.

Пусть распределение случайной величины $\xi$ абсолютно непрерывно, — функция распределения, а — плотность распределения случайной величины $\xi$ . Выберите верные утверждения.

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано таблицей распределения:

a_i	-2	-1	0	1
P(? = a_i)	0, 1	0, 2	p	0, 1

Выберите верные утверждения.

Пусть — произвольная функция распределения. Выберите верные утверждения.

Пусть распределение случайной величины $\xi$ абсолютно непрерывно, — функция распределения случайной величины $\xi$ . Выберите верные утверждения.

Пусть $\Omega=[0, 1],\; F=\{\Omega,\varnothing,[0; 0,5],(0,5; 1]\}$ . Какие из следующих функций являются случайными величинами?

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано функцией распределения:

$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ 0,75, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.»></div> <p> Выберите верные утверждения.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано функцией распределения:

$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ x, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.»></div> <p> Выберите верные утверждения.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть $\Omega=[0,1],\; F=\mathfrak{B}([0,1])$ — множество борелевских подмножеств отрезка . Какие из следующих функций являются случайными величинами?

Пусть $\Omega=\{a,b,c\},\;F=2^\Omega$ . Какие из следующих функций являются случайными величинами?

Пусть распределение случайной величины $\xi$ задано плотностью распределения:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}cx, & \text{если}\;0\le x\le1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.$

Выберите верные утверждения.

Точка наудачу выбирается на отрезке [0, 5]. Какое распределение имеет координата этой точки?

Случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром 2. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

Выберите распределения, для которых вероятность $P(0 \le \xi \le 3)$ является наибольшей среди перечисленных.

Бросают 10 симметричных игральных костей. Какое распределение имеет число костей, на которых выпало шесть очков?

Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с параметрами и $\sigma^2 = 9$ . Пусть $\Phi_{0,1}(x)$ — функция распределения стандартного нормального распределения. Чему равно значение вероятности $P(-1 < \xi < 5)$ ?

Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с плотностью распределения $f(x)=\frac1{\sqrt{18\pi}}e^{-\frac1{18}(x+1)^2}$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет стандартное нормальное распределение.

Выберите распределения, для которых вероятность $P(0 \le \xi \le 4)$ является наибольшей среди перечисленных.

Случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром 1. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

Выберите распределения, для которых вероятность $P(1 \le \xi \le 3)$ является наибольшей среди перечисленных.

Случайная величина $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение. Укажите верное неравенство.

Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока впервые не выпадет шесть очков. Какое распределение имеет число выполненных бросаний кости?

Выберите распределения, для которых вероятность $P(\xi = 3)$ является наибольшей среди перечисленных.

Выберите верные утверждения.

Случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром 2. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

Случайная величина $\xi$ имеет биномиальное распределение с параметрами 3 и 1/3. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают сразу три шара. Случайная величина $\xi$ равна числу белых шаров среди выбранных. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

На отрезок [0, 1] наудачу и независимо друг от друга бросают пять точек. Какое распределение имеет число точек, попавших на левую половину отрезка?

Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с плотностью распределения $f(x)=\frac1{\sqrt 8\pi}}e^{-\frac1 8(x-1)^2}$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет стандартное нормальное распределение.

Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с плотностью распределения $f(x)=\frac1{\sqrt 8\pi}}e^{-\frac1 8(x-1)^2}$ . Пусть $\Phi_{0,1}(x)$ — функция распределения стандартного нормального распределения. Чему равно значение вероятности $P(-1 < \xi < 5)$ ?

Выберите распределения, для которых вероятность $P(-3 \le \xi \le 3)$ является наибольшей среди перечисленных.

Выберите дискретные распределения.

Правильную монету бросают 10 раз. Какое распределение имеет число выпавших гербов?

Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с плотностью распределения $f(x)=\frac1{\sqrt{18\pi}}e^{-\frac1{18}(x+1)^2}$ . Пусть $\Phi_{0,1}(x)$ — функция распределения стандартного нормального распределения. Чему равно значение вероятности $P(-1 < \xi < 5)$ ?

Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают сразу три шара. Случайная величина $\xi$ равна числу черных шаров среди выбранных. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

Случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке [0, 5]. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с параметрами $a = 2,\;\sigma^2 = 4$ . Выберите верные утверждения.

Случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром 2. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с параметрами $a = 2,\;\sigma^2 = 4$ . Выберите верные утверждения.

Пусть случайный вектор $(\xi, \eta)$ имеет абсолютно непрерывное распределение. Если в некоторой области функция распределения этого вектора равна , то какова его плотность распределения в той же области?

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина $\xi$ равна сумме выпавших очков, случайная величина $\eta$ равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события ${\xi = 6; \eta = 0}$ .

Пусть случайный вектор $(\xi, \eta)$ имеет абсолютно непрерывное распределение. Если в некоторой области функция распределения этого вектора равна , то какова его плотность распределения в той же области?

Укажите верные высказывания.

Пусть $\xi$ и $\eta$ имеют плотность совместного распределения

$f_{\xi,\eta}(x,y)=\frac 1{4\pi}e^{-\frac{x^2}2-\frac{y^2}8}$

Укажите, чему равна вероятность события ${\xi < 0; \eta > 0}» style=»display: inline;<br /> «>.<br /> </h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. Укажите, чему равна вероятность события ${0 < \xi < 0,5; 0,1 < \eta < 0,3}$ .

Пусть $\xi$ и $\eta$ имеют плотность совместного распределения

$f_{\xi,\eta}(x,y)=\frac 1{4\pi}e^{-\frac{(x-1)^2}2-\frac{y^2}8}$

Укажите, чему равна вероятность события ${\xi < 1; \eta < 0}$ .

Выберите свойства, которыми обладает любая функция совместного распределения.

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина $\xi$ равна сумме выпавших очков, случайная величина $\eta$ равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события ${\xi = 4; \eta = 0}$ .

Пусть $\xi$ и $\eta$ — произвольные случайные величины. Выберите верные утверждения.

Пусть $\xi \sim U_{0,1}$ и $\eta \sim U_{0,2}$ — независимые случайные величины. Укажите, чему равна вероятность события ${0,5 < \xi < 1; 1,1 < \eta < 1,9}$ .

Укажите высказывания, которые справедливы для любых случайных величин $\xi$ и $\eta$ с дискретными распределениями.

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина $\xi$ равна сумме выпавших очков, случайная величина $\eta$ равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события $\{{\xi = 3; \eta = 1}\}$ .

Пусть случайный вектор $(\xi, \eta)$ имеет абсолютно непрерывное распределение с постоянной плотностью во всех точках ромба $|x|+|y| \le 1$ . Вне ромба плотность нулевая. Каково значение плотности внутри ромба?

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина $\xi$ равна сумме выпавших очков, случайная величина $\eta$ равна числу выпавших двоек. Укажите вероятность события ${\xi = 5; \eta = 1}$ .

Выберите верные высказывания.

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина $\xi$ равна сумме выпавших очков, случайная величина $\eta$ равна числу выпавших двоек. Укажите вероятность события ${\xi = 6; \eta = 0}$ .

Пусть $\xi$ и $\eta$ имеют плотность совместного распределения

$\{{\xi > 1; \eta > 1}\}» style=»display: inline;<br /> «>.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют следующую таблицу совместного распределения:

?^?	-1	0	1	2
0	0, 1	0, 25	0	0
1	0	0, 2	p	0, 1
2	0	0, 1	0	0, 1

Выберите верные высказывания.

Случайная величина $\xi$ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Пусть $\eta = \xi-2$ . Какова плотность распределения случайной величины $\eta$ ?

Пусть $\xi\sim E_2,\;\eta=2\xi-5$ . Укажите значение плотности распределения случайной величины $\eta$ в точке .

Пусть $\xi\sim N_{0,1}$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение $N_{1, 9}$ .

Случайную величину, имеющую абсолютно непрерывное распределение, умножили на 2. Выберите верные высказывания.

Пусть $\xi\sim G_{1/2},\;\eta=4\xi$ . Укажите значение вероятности $P(\eta = 8)$ .

Пусть $\xi\sim E_2$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение $U_{0, 1}$ .

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин $\xi,\;\eta\sim E_3$ .

Даны три независимые в совокупности случайные величины $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ с одним и тем же распределением Пуассона с параметром 2. Найдите $P(\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 = 3)$ .

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин $\xi\sim N_{1,2}\;\text{и}\;\eta\sim N_{1,1}$ .

Пусть $\xi\sim E_3$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение $U_{0, 1}$ .

Пусть $\xi\sim\Pi_\lambda,\;\eta=2\xi$ . Укажите значение вероятности $P(\eta = 6)$ .

Случайная величина $\xi$ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Пусть $\eta = 2\xi+1$ . Какова плотность распределения случайной величины $\eta$ ?

Пусть $\xi\sim N_{0,1},\;\eta=-2\xi+1$ . Укажите распределение случайной величины $\eta$ .

Даны пять независимых в совокупности случайных величин $\xi_1, \ldots , \xi_5$ с одним и тем же распределением Бернулли с параметром 1/2. Найдите $P(\xi_1+\ldots+\xi_5 = 3)$ .

Пусть $\xi\sim B_{3,1/2},\;\eta=2\xi$ . Укажите значение вероятности $P(\eta = 6)$ .

Пусть $\xi\sim U_{-2,2}$ . Выберите верные высказывания.

Пусть $\xi\sim N_{0,1}$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение $N_{1, 4}$ .

Пусть $\xi\sim U_{0,1}$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение .

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин $\xi\sim B_{1,1/3}\;\text{и}\;\eta\sim B_{5,1/3}$ .

Случайная величина $\xi$ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Пусть $\eta = -\xi$ . Какова плотность распределения случайной величины $\eta$ ?

Пусть $\xi\sim U_{0,1}\;$ , $\eta=2\xi-1$ . Укажите значение плотности распределения случайной величины $\eta$ в точке .

К случайной величине, имеющей абсолютно непрерывное распределение, прибавили 5. Выберите верные высказывания.

Пусть $\xi\sim N_{0,1}$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение $N_{-1, 4}$ .

Случайная величина $\xi$ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Пусть $\eta = 2\xi$ . Какова плотность распределения случайной величины $\eta$ ?

Пусть $\xi\sim U_{0,1}\;\eta=3\xi+2$ . Укажите значение плотности распределения случайной величины $\eta$ в точке .

Случайная величина $\xi$ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Пусть $\eta = \xi/2$ . Какова плотность распределения случайной величины $\eta$ ?

Случайная величина $\xi$ имеет распределение Парето с плотностью при $\eta$ в точке .

Укажите распределение разности двух независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами $a = 1, \sigma^2 = 1$ .

Даны пять независимых в совокупности случайных величин $\xi_1, \ldots , \xi_5$ с одним и тем же распределением Пуассона с параметром 2. Найдите $P(\xi_1+\ldots+\xi_5 = 10)$ .

Пусть $\xi\sim N_{0,1},\;\eta=2\xi+1$ . Укажите распределение случайной величины $\eta$ .

Пусть $\xi\sim U_{0,1}$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение .

Укажите значение в точке плотности распределения суммы трех независимых в совокупности случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами $a = 1, \sigma^2 = 1$ .

Выберите верные утверждения.

Пусть $\xi\sim E_2,\;\eta=2\xi+5$ . Укажите значение плотности распределения случайной величины $\eta$ в точке .

Пусть $\xi\sim G_{1/2},\;\eta=2\xi$ . Укажите значение вероятности $P(\eta = 6)$ .

Даны шесть независимых в совокупности случайных величин $\xi_1, \ldots , \xi_6$ с одним и тем же распределением Бернулли с параметром 1/2. Найдите $P(\xi_1+\ldots+\xi_6 = 5)$ .

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

Найдите $Ee^{\xi}$ , если случайная величина $\xi$ имеет распределение с плотностью

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3\cdot e^{-3x}, & x>0,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.»></div> </h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть $E\xi^2 < \infty, E\eta^2 < \infty$ . Выберите верное утверждение.

Найдите $E\xi^3$ , если случайная величина $\xi$ имеет распределение с плотностью

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3x^2, & 0<x<1,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.$

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) B_{4, 3/4}; (2) \Pi_2; (3) E_2; (4) G_{1/5}$ .

Считая, что $\xi \ge 0$ п. н. и указанные математические ожидания существуют, выберите верные неравенства.

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.

В приборе имеются четыре ненадежных элемента, вероятности отказа которых равны соответственно 0,2, 0,3, 0,6 и 0,5. Найдите математическое ожидание числа отказавших элементов.

Найдите $E2^{\xi}$ , если случайная величина $\xi$ принимает только значения -1, 0 и 1 с равными вероятностями.

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

Выберите верные утверждения.

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) U_{-5, 5}; (2) \Pi_4; (3) N_{-5, 16}; (4) G_{1/2}$ .

Выберите верные утверждения.

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) B_{3/4}; (2) I_0; (3) U_{-1, 5}; (4) N_{1, 8}$ .

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) B_{4, 3/4}; (2) \Pi_2; (3) E_2; (4) G_{1/5}$ .

Найдите $E\xi^3$ , если случайная величина $\xi$ принимает только целые значения от 0 до 4 с равными вероятностями.

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.

Сделано пять выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом из первых трех выстрелов равна 0,5, при каждом из двух последних — 0,7. Найдите математическое ожидание числа попаданий.

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) B_{3/4}; (2) I_0; (3) U_{-1, 2}; (4) N_{1, 9}$ .

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) U_{-5, 5}; (2) \Pi_4; (3) N_{-5, 16}; (4) G_{1/10}$ .

Найдите $E\left(\frac1\xi\right)$ , если случайная величина $\xi$ имеет распределение с плотностью

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3x^2, & 0<x<1,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.$

Найдите $E2^{\xi}$ , если случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda = 2$ .

Найдите $E2^{-\xi}$ , если случайная величина $\xi$ имеет таблицу распределения $P(\xi = k) = 2^{-k}, k = 1, 2, \ldots$

Симметричную игральную кость подбрасывают трижды. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.

Выберите верные утверждения.

Найдите $Ee^{\xi}$ , если случайная величина $\xi$ имеет распределение с плотностью

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3\cdot e^{3x}, & x<0,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.$

В приборе имеются три ненадежных элемента, вероятности отказа которых равны соответственно 0,3, 0,6 и 0,5. Найдите математическое ожидание числа элементов, отказавших за время эксперимента.

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) B_{1/3}; (2) I_5; (3) U_{-2, 1}; (4) N_{-2, 9}$ .

Симметричную игральную кость подбрасывают дважды. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) B_{1/3}; (2) I_5; (3) U_{-2, 1}; (4) N_{-2, 9}$ .

Найдите $E\left(\frac1\xi\right)$ , если случайная величина $\xi$ имеет распределение с плотностью

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x, & 0<x<1,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.$

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) B_{4, 1/3}; (2) \Pi_2; (3) E_{1/10}; (4) G_{1/3}$ .

Найдите $E\left(\frac1\xi\right)$ , если случайная величина $\xi$ принимает только значения 1, 2 и 4 с равными вероятностями.

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь $(1) B_{4, 1/3}; (2) \Pi_2; (3) E_{1/10}; (4) G_{1/3}$ .

Пусть $E\xi^2 < \infty, E\eta^2 < \infty$ . Выберите верные утверждения.

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

Выберите верные утверждения.

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством $\xi = 1 - 2\eta$ . Укажите значение их коэффициента корреляции.

Случайная величина $\xi$ принимает значения -1, 0 и 1 с равными вероятностями, $\eta = \xi^2$ . Найдите коэффициент корреляции случайных величин $\xi$ и $\eta$ и выберите верные утверждения.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют следующую таблицу совместного распределения:

?^?	-5	0	5
0	0, 1	0, 2	0, 3
5	0	0, 2	0, 2

Найдите ковариацию случайных величин $\xi$ и $\eta$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одно и то же распределение Пуассона с параметром 2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин $3\xi - \eta\text{ и }\xi + \eta$ .

Точка с координатами $\xi$ и $\eta$ наудачу выбрана в квадрате $\{{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1}\}$ . Найдите коэффициент корреляции координат точки и выберите верные утверждения.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют следующую таблицу совместного распределения:

?^?	-5	0	5
0	0	0, 2	0, 3
2	0, 1	0, 2	0, 2

Найдите ковариацию случайных величин $\xi$ и $\eta$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одно и то же равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Найдите коэффициент корреляции случайных величин $\xi - 2\eta\text{ и }\xi + \eta$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одно и то же распределение Пуассона с параметром $\lambda = 1$ . Укажите значение их коэффициента корреляции.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одно и то же показательное распределение с параметром 2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин $4\xi - 2\eta\text{ и }\xi + \eta$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные дисперсии. Укажите верные утверждения.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найдите коэффициент корреляции случайных величин $2\xi - \eta\text{ и }\xi + \eta$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют следующую таблицу совместного распределения:

?^?	-10	0	10
0	0	0, 2	0, 3
-1	0, 1	0, 2	0, 2

Найдите ковариацию случайных величин $\xi$ и $\eta$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством $\xi = \eta - 1$ . Укажите значение их коэффициента корреляции.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством $\eta = 3\xi + 2$ . Укажите значение их коэффициента корреляции.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют следующую таблицу совместного распределения:

?^?	-5	0	5
0	0, 1	0, 2	0, 3
10	0	0, 2	0, 2

Найдите ковариацию случайных величин $\xi$ и $\eta$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют следующую таблицу совместного распределения:

?^?	-5	0	5
0	0	0, 2	0, 3
-1	0, 1	0, 2	0, 2

Найдите ковариацию случайных величин $\xi$ и $\eta$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Укажите значение их коэффициента корреляции.

Точка с координатами $\xi$ и $\eta$ наудачу выбрана в круге ${(x, y) | x^2+y^2 \le 1}$ . Найдите коэффициент корреляции координат точки и выберите верные утверждения.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Пусть $D\xi = 1$ . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность $P(|\xi - E\xi| > 10)» style=»display: inline;<br /> «>.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Подбрасывают правильную игральную кость. После

подбрасываний обозначим через $\nu_n$ количество подбрасываний, при которых выпало 3 очка. Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности $\nu_n/n$ в смысле сходимости по вероятности.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же стандартным распределением Коши. Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n$

в смысле сходимости по вероятности.

Выберите верные утверждения.

Дана последовательность случайных величин $\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi$ . Выберите достаточные условия для сходимости $E\xi_n\to E\xi$ .

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами $a = 1\text{ и }\sigma^2 = 4$ . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n$

в смысле сходимости по вероятности.

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots$ со следующими распределениями: для любого

$P(\xi_n=\sqrt{n})=\frac 1n,\quad P(\xi_n=2)=\frac 1n,\quad P\left(\xi_n=\frac 1{\sqrt{n}}\right)=1-\frac 2n.$

Найдите предел последовательности $\xi_n$ в смысле сходимости по вероятности.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Пуассона с параметром 2. Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n$

в смысле сходимости почти наверное.

Пусть $D\xi = 1$ . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность $P(|\xi - E\xi| > 3)» style=»display: inline;<br /> «>.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda = 2$ . Вероятность g(x) = 2^x

. Укажите значение этой оценки.

Пусть $D\xi = 3$ . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность $P(|\xi - E\xi| > 3)» style=»display: inline;<br /> «>.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть $E\xi^2 = 6, \;E\xi = 1$ . Оценивается сверху вероятность $g(x) = x^2\text{ при }x > 0″ style=»display: inline;<br /> «>.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Подбрасывают три правильные монеты. После подбрасываний этих трех монет обозначим через $\nu_n$ количество подбрасываний, при которых выпало не более одного герба. Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности $\nu_n/n$ в смысле сходимости по вероятности.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами $m = 3\text{ и }p = 1/4$ . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n-\left(\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n\right)^2$

в смысле сходимости почти наверное.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda = 3$ . Вероятность . Укажите значение этой оценки.

Пусть $D\xi = 1$ . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность $P(|\xi - E\xi| > 5)» style=»display: inline;<br /> «>.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Бернулли с параметром p = 1/4

. Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n$

в смысле сходимости по вероятности.

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots$ со следующими распределениями: для любого

$P(\xi_n=n)=\frac 1n,\quad P(\xi_n=-2)=\frac 1n,\quad P(\xi_n=2)=1-\frac 2n.$

Найдите предел последовательности $\xi_n$ в смысле сходимости по вероятности.

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Подбрасывают две правильные монеты. После подбрасываний двух монет обозначим через $\nu_n$ количество подбрасываний, при которых выпал один герб и одна решка. Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности $\nu_n/n$ в смысле сходимости по вероятности.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же показательным распределением с параметром $\alpha = 2$ . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n-\left(\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n\right)^2$

в смысле сходимости почти наверное.

Пусть $D\xi = 2$ . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность $P(|\xi - E\xi| > 10)» style=»display: inline;<br /> «>.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами $m = 3\text{ и }p = 1/4$ . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n$

в смысле сходимости по вероятности.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами $a = 1\text{ и }\sigma^2 = 4$ . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n$

в смысле сходимости почти наверное.

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots$ со следующими распределениями: для любого

$P(\xi_n=\sqrt{n})=\frac 1n,\quad P(\xi_n=2)=\frac 1n,\quad P\left(\xi_n=1-\frac 1n\right)=1-\frac 2n.$

Найдите предел последовательности $\xi_n$ в смысле сходимости по вероятности.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же показательным распределением с параметром $\alpha = 2$ . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n$

в смысле сходимости по вероятности.

Пусть $P(\xi > 10)» style=»display: inline;<br /> «>. Укажите значение оценки по неравенству Маркова.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Подбрасывают правильную игральную кость. Величина S_n

равна сумме выпавших очков. Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности S_n/n

в смысле сходимости по вероятности.

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots$ со следующими распределениями: для любого

$P(\xi_n=1)=\frac 1n,\quad P(\xi_n=-1)=\frac 1n,\quad P\left(\xi_n=\frac 1n\right)=1-\frac 2n.$

Найдите предел последовательности $\xi_n$ в смысле сходимости по вероятности.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Бернулли с параметром . Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности

$\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n-\left(\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n\right)^2$

в смысле сходимости почти наверное.

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots$ со следующими распределениями: для любого

$P(\xi_n=n^2)=\frac 1n,\quad P(\xi_n=1)=1-\frac 1n.$

Найдите предел последовательности $\xi_n$ в смысле сходимости по вероятности.

Пусть $E\xi^2 = 6, \;E\xi = 1$ . Оценивается сверху вероятность $P(|\xi-1| > 10)» style=»display: inline;<br /> «>. Укажите значение оценки по неравенству Чебышева.</h6> <table> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> <tr> </tr> </table> <hr color=#ff8800 size=$

Выберите верные утверждения.

Подбрасывают две правильные монеты. После подбрасываний пары монет обозначим через $\nu_n$ количество подбрасываний, при которых выпало два герба. Укажите, чему равен предел при $n \to \infty$ последовательности $\nu_n/n$ в смысле сходимости по вероятности.

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Дана последовательность случайных величин $\xi_n\stackrel{P}{\to}\xi$ . Выберите достаточные условия для сходимости $E\xi_n\to E\xi$ .

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с показательным распределением с параметром $\alpha = 2$ , — сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность $\frac{2S_n-n}{\sqrt{n}}$ слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, ...$ со следующими распределениями: $\xi_n\sim U_{0,1/n}$ . Если последовательность $\xi_n$ слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с показательным распределением с параметром $\alpha = 2, S_n$ — сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с распределением Бернулли с параметром . Пусть — сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность $\frac{S_n-n/2}{\sqrt{n}}$ слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Отметьте верное утверждение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с равномерным распределением на отрезке [-1, 1], — сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Выберите верные утверждения.

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 60.

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, ...$ со следующими распределениями:

$\xi_n$ слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с нормальным распределением с параметрами $a = 2, \sigma^2 = 1$ . Пусть — сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, ...$ со следующими распределениями: $\xi_n\sim U_{(n-1)/n,(n+1)/n}$ . Если последовательность $\xi_n$ слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с биномиальным распределением с параметрами . Пусть — сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с распределением Пуассона с параметром $\lambda = 2$ , — сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность $\frac{S_n-2n}{\sqrt{n}}$ слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Выберите верные утверждения.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с равномерным распределением на отрезке , — сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность $\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 100.

Дана последовательность случайных величин $\xi_1, \xi_2, ...$ со следующими распределениями: $\xi_n\sim U_{0,(n+1)/n}$ . Если последовательность $\xi_n$ слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с биномиальным распределением с параметрами . Пусть — сумма первых случайных величин в этой последовательности. Последовательность $\frac{S_n-4n}{\sqrt{n}}$ слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 40.

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины $\xi+2$ .

Если математическое ожидание случайной величины $\xi$ равно нулю, а дисперсия равна единице, как выглядит разложение ее характеристической функции в ряд Тейлора в окрестности нуля?

Укажите характеристическую функцию среднего арифметического независимых в совокупности и одинаково распределјнных случайных величин с характеристической функцией $\varphi(t)$ .

Случайная величина $\xi$ принимает значения ±1 с вероятностями по 1/2. Найдите характеристическую функцию $\phi_{\xi}(t)$ .

Если последовательность характеристических функций $\varphi_\xi_n(t)$ сходится при всех к характеристической функции $\varphi_\xi(t)$ , что можно сказать про поведение случайных величин $\xi_n$ ?

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=\exp(2e^{it}-2)$ .

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины $2\xi+1$ .

Если момент пятого порядка случайной величины $\xi$ существует, что можно сказать про ее характеристическую функцию?

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины $2\xi$ .

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=e^{2it-t^2/2}$ .

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=\exp(3e^{it}-3)$ .

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=\exp(-3t^2/2)$ .

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=\frac{2}{2-it}$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы. Чему равна характеристическая функция их суммы?

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=(0,5+0,5e^{it})^3$ .

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=\frac{3}{3-it}$ .

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины $-2\xi$ .

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=(0,5+0,5e^{it})^3$ .

Укажите значение характеристической функции в точке .

Если математическое ожидание и дисперсия случайной величины $\xi$ равны единице, как выглядит разложение ее характеристической функции в ряд Тейлора в окрестности нуля?

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=\exp(-t^2)$ .

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция $\varphi(t)=\frac{1}{(1-it)^3}$ .

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 80.

Три карточки с буквами К, Т, О выкладывают в ряд в произвольном порядке. Какова вероятность выложить слово КОТ?

Пусть $\xi\sim U_{0,1}$ . Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение Парето с плотностью при

Выберите верные утверждения.

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 4, P(B) = 0, 6. Выберите верное высказывание.

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигма алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины $\xi$ , заданной равенством:

$\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}2\omega, & \text{если}\;\omega<0,5\\ 3\omega, & \text{если}\;\omega\ge 0,5.\end{arrey}\right.$

Пусть случайный вектор $(\xi, \eta)$ имеет абсолютно непрерывное распределение с постоянной плотностью во всех точках круга $x^2 + y^2 \le 1$ . Вне круга плотность нулевая. Каково значение плотности внутри круга?

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 120.

Пусть P(B) > 0. Укажите, какая из следующих величин называется условной вероятностью события A при условии B.

Пусть $|\Omega|=3$ . Укажите, какими могут быть вероятности элементарных исходов.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин $2\xi - 2\eta\text{ и }\xi + \eta$ .

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Укажите верные высказывания.

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 4, P(B) = 0, 7. Выберите верное высказывание.

Подбрасывают четыре неразличимых шестигранных игральных кости и записывают наборы выпадающих очков. Сколько различных наборов можно таким образом записать?

Пусть $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_4\},\;P(\omega_i)=C\cdot i^2,\;A=\{\omega_1,\omega_3\}$ . Укажите все верные высказывания.

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин $\xi\sim\Pi_2\;\text{и}\;\eta\sim\Pi_3$ .

Брошены пять монет. Рассматриваются события — выпали пять гербов, — выпали пять решек, — выпала ровно одна решка. Выберите верное высказывание.

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды в 52 карты по одной карте каждой масти?

В соревнованиях участвуют три лыжника. Сколькими способами они могут расположиться на трёх призовых местах?

Брошены три монеты. Рассматриваются события и . Выберите все верные высказывания.

Пусть $\Omega=\{1,\ldots,10\},\;A=\{1,\ldots,6\},\;B =\{\omega\in\Omega|\omega\ge3\}$ . Выберите верное высказывание.

На почте есть марки трёх видов, конверты четырёх видов и открытки пяти видов. Каким числом способов можно выбрать открытку, конверт и марку к нему?

Брошены пять монет. Рассматриваются события — выпали пять гербов, — выпали пять решек, — выпала ровно одна решка. Выберите все верные высказывания.

Брошены монет. При каждом рассматривается событие — на -й монете выпал герб. Выберите верное высказывание.

Три стрелка каждый по разу стреляют по мишени. Событие означает, что попал хотя бы один из них, событие означает, что попал только второй стрелок, событие — произошло только одно попадание. Укажите верное отношение.

Сколькими способами можно выбрать одну гласную и одну согласную буквы из слова «скрипач»?

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды в 52 карты четыре карты, если их порядок безразличен (карты не возвращаются в колоду)?

Каждая из деталей может быть годной или дефектной. Событие состоит в том, что -я деталь дефектна. Какие из следующих событий означают, что все детали годные?

Четыре раза подбрасывают шестигранную игральную кость и записывают количество выпадающих очков в порядке поступления. Сколько различных двузначных чисел можно таким образом записать?

Брошены монет. При каждом рассматривается событие — на -й монете выпал герб. Какие из следующих событий состоят в том, что выпала хотя бы одна решка?

В футбольном турнире участвуют четыре команды. Сколькими способами можно выбрать из них пару команд для первого матча?

В турнире принимают участие 6 шахматистов. Сколькими способами можно их разбить на две группы по три шахматиста?

Пусть $\Omega\{1,2,3,\ldots\},\;A=\{1,2,3\},\;B=\{\omega\in\Omega|\omega\le100\},\;C=\{2\}$ . Укажите верное отношение.

Сколькими способами можно составить список дежурных на пять дней следующей недели, если каждый день должен дежурить один человек, в классе всего 20 школьников, и ни один человек не должен дежурить более одного раза в неделю?

Города А и Б соединены пятью дорогами. Сколькими способами можно добраться из города А в город Б и затем вернуться обратно?

Нужно отправить пять писем. Сколькими способами это можно сделать, если есть два курьера, и каждое из писем можно вручить любому курьеру?

Событие состоит в том, что первая деталь дефектна, событие — вторая деталь дефектна. Какие из следующих событий означают, что ровно одна из этих двух деталей дефектна?

Пусть $\Omega=\{1,\ldots,10\},\;A=\{\omega\in\Omega|\omega\le4\},\;B=\{\omega\in\Omega||\omega-9|\le1\}$ . Выберите все верные высказывания.

Сколькими способами можно выбрать спорторга, культорга и председателя редколлегии, если всего в классе 20 школьников?

Брошены три монеты. Рассматриваются события — на первой монете выпал герб, . Выберите верное высказывание.

Брошены три монеты. Рассматриваются события — на первой монете выпал герб, — на второй монете выпал герб, — выпал хотя бы один герб. Выберите все верные высказывания.

Подброшены три монеты. Событие означает, что на первой монете выпал герб, а на остальных двух — решки, событие означает, что выпал хотя бы один герб, событие — выпал ровно один герб. Укажите верное отношение.

Пусть $\Omega\{1,2,3,\ldots\},\;A=\{1,2,3,4\},\;B=\{2,3\},\;C=\{2\}$ . Укажите верное отношение.

Выберите все верные высказывания.

Сколькими способами можно составить очередь к зубному врачу из 20 школьников одного класса?

Вероятность получить «отлично» по математике равна 1/4, по физике — тоже 1/4, а сразу по двум предметам — 1/8. Какова вероятность получить «отлично» хотя бы по одному предмету?

На плоскости есть 6 точек. Каждые две из них можно соединить отрезком. Сколько таких отрезков можно образовать?

Из коробки, в которой лежали 5 красных и 2 синих карандаша, потерялись 4 карандаша. Какова вероятность того, что потерялись только красные карандаши, если любой карандаш имел равные шансы быть потерянным?

Внутри круга с радиусом 5 см лежат, не перекрываясь, пять одинаковых монет с радиусом 1 см. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка упадет на одну из монет?

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется король пик?

Из букв слова МОЛОКО, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово МОЛ?

В точке , положение которой на телефонной линии длиной 100 км равновозможно, произошел разрыв линии. Какова вероятность того, что точка удалена от точки более, чем на 75 км?

Пусть $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_4\},\;P(\omega_i)=C\cdot i,\;A=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}$ , . Укажите верное высказывание.

Подбрасывают две одинаковые игральные кости. Каково общее число равновозможных элементарных исходов?

На отрезке [0, 1] наудачу выбираются две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется больше, чем 0, 1?

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны два юноши и одна девушка?

Из букв слова МОЛОКО, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово ОКО?

В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны только юноши?

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны один юноша и две девушки?

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают две карты. Какова вероятность того, что они обе окажутся картами масти пик?

В точке , положение которой на телефонной линии длиной 100 км равновозможно, произошел разрыв линии. Какова вероятность того, что точка удалена от точки не более, чем на 25 км?

Точка с координатой $\xi$ наудачу бросается на отрезок . Выберите верные высказывания.

Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, берут 2 шара наугад. Порядок появления шаров учитывается. Каково общее число равновозможных элементарных исходов?

После бури на участке между 40-м и 65-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, дважды берут шар наугад, возвращая его обратно. Каково общее число равновозможных элементарных исходов?

Один раз подбрасывают симметричную игральную кость. Какова вероятность того, что выпадет одно или два очка?

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно один король?

Из букв слова ЛОТО, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово ЛОТ?

В точке , положение которой на телефонной линии длиной 100 км равновозможно, произошел разрыв линии. Какова вероятность того, что точка удалена и от точки , и от точки более, чем на 40 км?

Внутри круга с радиусом 2 см лежат, не перекрываясь, две одинаковые монеты с радиусом 1 см. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка упадет на одну из монет?

На полке 6 книг по математике и 2 по физике. Какова вероятность того, что выбранная наугад книга окажется книгой по физике?

Пусть пространство $\Omega$ совпадает с множеством всех натуральных чисел. Укажите, какими могут быть вероятности элементарных исходов.

Две точки наудачу брошены на отрезок. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется не больше половины длины отрезка?

Из букв слова БОЛТ, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово ЛОТ?

На отрезке [0, 1] наудачу выбираются две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется больше, чем 0, 9?

Есть 5 монет по 50 копеек и 3 монеты по рублю. Какова вероятность того, что выбранная наугад монета окажется монетой в один рубль?

В точке , положение которой на телефонной линии длиной 100 км равновозможно, произошел разрыв линии. Какова вероятность того, что точка удалена от точки более, чем на 25 км?

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один король?

Из коробки, в которой лежали 5 красных и 2 синих карандаша, потерялись 3 карандаша. Какова вероятность того, что потерялись только красные карандаши, если любой карандаш имел равные шансы быть потерянным?

Пусть и — произвольные события, причем влечет . Выберите верное высказывание:

Пусть $\lambda(A)$ обозначает меру Лебега борелевского множества . Укажите значение $\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(B_n),\text{ если }B_n=(1-1/n,1+2/n)$ .

Подбрасывают три игральных кости. Выберите набор событий, для которого вероятность объединения равняется сумме вероятностей событий из набора.

Фирма A в течение года разоряется с вероятностью 0,3, фирма Б — с вероятностью 0,4, а обе фирмы — с вероятностью 0,25. Какова вероятность того, что в течение года разорится хотя бы одна фирма?

Пусть $\Omega=\{a,b,c\},\;F=2^\Omega$ . Выберите функцию, которая является вероятностной мерой.

Пусть $\Omega=\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств $\Omega$ ?

Пусть $\Omega = \{a,b,c\},\;F=2^\Omega$ . Выберите функции, которые являются мерами.

Подбрасывают две игральных кости. Укажите такие события и , для которых $P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$ .

Выберите свойства, верные для любых несовместных событий и .

Пусть $\Omega=\mathbb{R}$ . Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств $\Omega$ ?

Пусть $\lambda(A)$ обозначает меру Лебега борелевского множества . Укажите верные утверждения.

Бросают две правильные игральные кости. Какова вероятность получить нечетное число очков хотя бы на одной кости?

Пусть $\Omega$ — произвольное непустое множество. Укажите верные высказывания.

Укажите равенство, верное для любой последовательности событий

$B_1\supseteq B_2\supseteq\ldots$

Даны события такие, что
,
,
.
Укажите значение $P(A\cup B\cup C)$ .

Пусть $\Omega$ — произвольное непустое множество, — некоторое непустое множество его подмножеств, содержащее вместе с любым своим элементом $A\in F\text{ его дополнение }\overline A$ . Выберите условия, при выполнении которых множество будет ?-алгеброй.

Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Какова вероятность получить любого короля или любую карту пиковой масти?

Укажите свойства, которыми обладает любая вероятностная мера.

Пусть $\Omega$ — произвольное непустое множество, — некоторое непустое множество его подмножеств, содержащее вместе с любым своим элементом $A\in F\text{ его дополнение }\overline A$ . Выберите условия, при выполнении которых множество будет алгеброй.

Даны события такие, что
.
Укажите значение $P(A\cup B\cup C)$ .

Чему равна вероятность $P(A\cup B)$ для произвольных событий и ?

Пусть $\lambda(A)$ обозначает меру Лебега борелевского множества . Укажите значение $\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(B_n),\text{ если }B_n=(-1/n,2+2/n)$ .

Даны события такие, что $P(A)=P(B)=P(C)=1/2,\;P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4,\;P(ABC)=1/8$ . Укажите значение $P(A\cup B\cup C)$ .

Пусть $\Omega=\mathbb{R}$ , а множество содержит все конечные множества вещественных чисел (в том числе пустое) и их дополнения до $\;\mathbb{R}$ . Укажите верное высказывание.

Выберите свойства, верные для произвольных событий и .

Выберите свойства, верные для любых несовместных событий и .

Пусть $\Omega=\mathbb{R},\; F=2^\Omega$ . Выберите функции, которые являются мерами.

Пусть $\Omega$ — произвольное непустое множество, — алгебра его подмножеств, $A,B\in F$ — некоторые события. Укажите множества, принадлежащие .

Пусть $\Omega\{1,2,3,4,5\},\;F-\text{ минимальная }\sigma-\text{алгебра,}$ содержащая множества и . Укажите множества, принадлежащие .

Пусть $\Omega=\mathbb{R},\; F=2^\Omega$ . Выберите функции, которые являются вероятностными мерами.

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимают шары по одному до тех пор, пока не появится белый шар. Какова вероятность того, что из урны будет вынуто только 2 шара?

На фабрике половина продукции производится первой машиной, половина — второй. Первая машина дает 10% брака, вторая — 20%. Определите вероятность наугад выбранной детали оказаться бракованной.

В урне 1 белый шар и 2 черных. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше достанет белый шар. Какова вероятность того, что выиграет 1-й игрок?

Первый стрелок попадает в цель всегда, второй — в половине случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел и попал в мишень. Какова вероятность, что стрелял второй стрелок?

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 5, P(B) = 0, 5. Укажите верные высказывания.

Пусть P(A) = 0, 2, P(B) = 0, 5, P(A ? B) = 0, 1. Найдите P(A|B).

События A и B называются независимыми, если…

В первой урне 40% шаров белые, во второй — 50%. Из наудачу выбранной урны достают шар. Определите вероятность того, что шар окажется белым.

В фирме половина работающих — мужчины. Вероятность опоздать на работу в произвольно взятый день для мужчины равна 0,1, для женщины — 0,3. Определите вероятность того, что наугад выбранный из списка сотрудник завтра опоздает на работу.

В урне 1 белый шар и 2 черных. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше достанет белый шар. Какова вероятность того, что выиграет 2-й игрок?

В первой урне 20% шаров белые, во второй — 60%. Из наудачу выбранной урны наугад достали шар, оказавшийся белым. Определите вероятность того, что шар был вынут из второй урны.

Пусть P(A) = 0, 3, P(B) = 0, 5, P(A ? B) = 0, 2. Найдите P(A|B).

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимают шары по одному до тех пор, пока не появится белый шар. Какова вероятность того, что из урны будет вынуто 4 шара?

Выберите верные утверждения.

В первой урне 60% шаров белые, во второй — 20%. Из наудачу выбранной урны наугад достали шар, оказавшийся белым. Определите вероятность того, что шар был вынут из второй урны.

Один раз бросают симметричную игральную кость. Событие A — выпало 3 очка, событие B — выпало нечетное число очков. Найдите P(A|B).

Первый стрелок попадает в цель в 90% случаев, второй — в 60% случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел и попал в мишень. Определите вероятность того, что это был второй стрелок.

На фабрике половина продукции производится первой машиной, половина — второй. В продукции первой машины брак составляет 10%, в продукции второй — 30%. Наугад выбранная из всей продукции деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первой машиной?

Первый стрелок попадает в цель в 70% случаев, второй — в половине случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел. Определите вероятность попадания в цель.

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимают шары по одному до тех пор, пока не появится белый шар. Какова вероятность того, что из урны будет вынуто 3 черных шара?

Половина стрелков попадает в цель в 60% случаев, половина — в 80% случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел. Определите вероятность попадания в цель.

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают две карты. Какова вероятность того, что ровно одна из них будет иметь пиковую масть?

Случайные величины $\xi\sim \Pi_3\text{ и }\eta\sim N_{1,9}$ независимы. Выберите верные высказывания.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Укажите верные высказывания.

Comments are closed.